Bài 2 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right];\left[ {S,AB,O} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(O\) là tâm của đáy

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SA,OA} \right) = \widehat {SAO}\)

Giả sử hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\\cos \widehat {SAO} = \frac{{AO}}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {SAO} = {45^ \circ }\end{array}\)

Vậy \(\left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^ \circ }\)

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AO,SO \bot BO\)

Vậy \(\widehat {AOB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right]\).

\(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^ \circ }\)

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SI \bot AB\)

\(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O \Rightarrow OI \bot AB\)

Vậy \(\widehat {SIO}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,AB,O} \right]\).

Ta có: \(O\) là trung điểm của \(BD\)

\(I\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của \(\Delta AB{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}\)