Bài 12 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\)

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\), cạnh đáy nhỏ bằng \(a\), chiều cao \(h = 2a\) và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng \(\frac{a}{2}\).

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo \(a\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).

‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right)\).

‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ: \(V = \pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết

Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(O,O'\) là tâm của hai đáy. Vậy \(AB = 2{\rm{a}},A'B' = a,OO' = 2a\).

Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(CD,C'D'\).

\(A'B'C'{\rm{D}}'\) là hình vuông \( \Rightarrow O'M' \bot C'{\rm{D}}'\)

\(CDD'C'\) là hình thang cân \( \Rightarrow MM' \bot C'D'\)

Vậy \(\widehat {MM'O'}\) là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, \(\widehat {M'MO}\) là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.

Kẻ \(M'H \bot OM\left( {H \in OM} \right)\)

\(OMM'O'\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow OH = O'M' = \frac{a}{2},OM = a,MH = OM - OH = \frac{{\rm{a}}}{2}\)

\(\begin{array}{l}\tan \widehat {M'MO} = \frac{{M'H}}{{MH}} = 4\\ \Rightarrow \widehat {M'MO} = 75,{96^ \circ } \Rightarrow \widehat {MM'O'} = {180^ \circ } - \widehat {M'MO} = 104,{04^ \circ }\end{array}\)

b) Diện tích đáy lớn là: \(S = A{B^2} = 4{{\rm{a}}^2}\)

Diện tích đáy bé là: \(S' = A'B{'^2} = {a^2}\)

Thể tích hình chóp cụt là: \({V_1} = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right) = \frac{1}{3}.2a\left( {4{{\rm{a}}^2} + \sqrt {4{{\rm{a}}^2}.{a^2}} + {a^2}} \right) = \frac{{14{{\rm{a}}^3}}}{3}\)

Thể tích hình trụ rỗng là: \({V_2} = \pi {R^2}h = \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.2{\rm{a}} = \frac{{\pi {a^3}}}{2}\)

Thể tích chân cột là: \(V = {V_1} - {V_2} = \left( {\frac{{14}}{3} - \frac{\pi }{2}} \right){a^3}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 13 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA' = a\), đáy \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = BD = a\).
Bài 11 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\)
Bài 10 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\).
Bài 9 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình vuông \(ABCD\) và tam giác đều \(SAB\) cạnh \(a\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\).
Bài 8 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) là
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Nếu hình hộp chữ nhật có ba kích thước là \(3;4;5\) thì độ dài đường chéo của nó là:
Bài 6 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = 4a,\) \(AD = 3a\). Các cạnh bên đều có độ dài \(5a\). Góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) có số đo là
Bài 5 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\), cạnh đáy nhỏ bằng \(a\) và chiều cao bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) là
Bài 4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp tam giác đều (S.ABC) cạnh đáy bằng (2a) và chiều cao bằng (asqrt 2 ).
Bài 3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng (a).
Bài 2 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(b\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy, \(SC = 2b\sqrt 2 \).
Bài 1 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông, (SA) vuông góc với mặt đáy.