Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 2. Tích phân

Lí thuyết tích phân


Tổng hợp lí thuyết Tích phân đầy đủ, ngắn gọn dễ hiểu.

1. Khái niệm và tính chất

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

a. Định nghĩa

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử \(F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a;b]\), hiệu số \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a;b]\) của hàm số \(f(x)\).

Kí hiệu là : \(\int_a^b f (x)dx\)

Vậy ta có :\(\int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b\)

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: \(\int_a^a f (x)dx = 0\)

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: \(\int_a^b f (x)dx =  - \int_b^a f (x)dx\)

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^b f (t)dt = \int_a^b f (u)du = ...\) (vì đều bằng \(F(b) - F(a)\))

b. Tính chất của tích phân

\(\int_a^b k f(x)dx = k\int_a^b f (x)dx\)  ( với \(k\) là hằng số)

\(\int_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} d{\rm{x}} = \int_a^b {f\left( x \right)} d{\rm{x}} \pm \int_a^b {g\left( x \right)} d{\rm{x}}\)

\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^c f (x))dx + \int_c^b f (x)dx\) (với \(a<b<c\))

2. Phương pháp tinh tích phân

a. Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([a;b]\). Giả sử hàm số \(x = \varphi \left( t \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([α;β]\) sao cho \(\varphi \left( \alpha  \right) = a,\varphi \left( \beta  \right) = b\) và \(a \le \varphi \left( t \right) \le b,\forall t \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\). Khi đó:

\(\int_a^b f (x)dx = \int_\alpha ^\beta  f (\varphi \left( t \right)) \varphi '(t)dt\)

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: 

\(\int_a^b f (x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du\)

b. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

\(\int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b - \int_a^b {u'} (x)v(x)dx\)

hay \(\int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b v du\)

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : \(\int_a^b f (x)dx \ge 0\)

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

\(\int_a^b g (x)dx \le \int_a^b f (x)dx\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

\(m(b - a) \le \int_a^b f (x)dx \le M(b - a)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 13 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua