Đề số 1 – Đề kiểm tra học kì 1 – Toán 12

Đề bài

Câu 1: Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}\). Có tất cả bao nhiêu giá trị \(m\) để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.

     A. \(2\)                               B. \(1\)                               C. \(0\)                               D. \(3\)

Câu 2: Đạo hàm của hàm số \(y = {x^{\frac{2}{3}}}\) là

     A. \(y' = \frac{2}{{3{x^3}}}\)                                      B. \(y' = \frac{2}{3}\sqrt[3]{x}\)  C. \(y' = \frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}}\)       D. \(y' = \frac{2}{3}x\)

Câu 3: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng nó xác định?

     A. \(y = {x^{ - \frac{3}{4}}}\)                                     B. \(y = \sqrt[3]{x}\)          C. \(y = {x^4}\)           D. \(y = {x^{ - 4}}\)

Câu 4: Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;1; - 3} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( { - 2;1;0} \right).\) Cosin góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) bằng

     A. \(\frac{3}{{\sqrt {55} }}\)                                       B. \(\frac{1}{{\sqrt {55} }}\)      C. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {55} }}\)                 D. \(\frac{{ - 1}}{{\sqrt {55} }}\)

Câu 5: Cho hình chóp \(S.ABC\) có thể tích là \(V.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm của \(SA\) và song song với \(\left( {ABC} \right)\) chia khối chóp trên thành hai phần. Thể tích khối chóp cụt tạo thành bằng

     A. \(\frac{{2V}}{3}\)         B. \(\frac{{3V}}{4}\)         C. \(\frac{V}{4}\)              D. \(\frac{{7V}}{8}\)

Câu 6: Số nghiệm của phương trình \(\log \left( {32 - {x^4}} \right) = \log {x^4}\) là

     A. \(4\)                               B. \(2\)                               C. \(3\)                               D. \(1\)

Câu 7: Ta có \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \) bằng

     A. \(\ln \left| {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right| + C.\)                          B. \(\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + C.\)

     C. \(\frac{1}{3}\ln \left| {\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)} \right| + C.\)          D. \(\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{2 - x}}} \right| + C.\)

Câu 8: Hàm số \(F\left( x \right) = {e^x} + \tan x + C\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nào?

     A. \(f\left( x \right) = {e^x} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)                                               B. \(f\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)                                 

     C. \(f\left( x \right) = {e^x} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)                                               D. \(f\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Câu 9: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right).\)

Mệnh đề nào sau đây sai?

     A. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\) 

     B. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;0} \right).\)             

     C. Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right).\)      

     D. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right).\)

Câu 10: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, điểm \(M\) là trung điểm của \(SD.\) Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(d.\) Khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {SBC} \right)\) bằng

     A. \(\frac{{2d}}{3}\)          B. \(\frac{d}{2}\)               C. \(d\)                               D. \(\frac{d}{4}\)

Câu 11: Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right) = x - {x^{ - 2}},\) biết \(F\left( 1 \right) = 0.\)

     A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{3}{2}.\)                       B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}.\)             

     C. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2}.\)                        D. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2}.\)

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

     A. \(m <  - 1\) hoặc \(m \ge 1.\)                                        B. \( - 2 \le m <  - 1\) hoặc \(m > 1.\)  

     C. \(m \le  - 1\) hoặc \(m > 1.\)                                         D. \( - 1 < m < 1.\)

Câu 13: Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a.\) Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

     A. \({a^3}\sqrt 3 \)            B. \(2{a^3}\)                      C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)  D. \(\frac{2}{3}{a^3}\)

Câu 14: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

     A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)                                B. \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. \(\left( {0;2} \right)\)                                   D. \(\left( { - 2;0} \right)\)

Câu 15: Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     A. \(a > 0,\,\,b < 0,\,\,c < 0.\)                                            B. \(a > 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0.\) 

     C. \(a < 0,\,\,b < 0,\,\,c < 0.\)                                            D. \(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0.\)

Câu 16: Trong hệ tục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 3}}{3}.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và song song với trục \(Oz\) có phương trình

     A. \(x - 2y - 1 = 0.\)           B. \(2x - y - 2 = 0.\)           C. \(2x + y - 2 = 0.\)                    D. \(x + 2y - 1 = 0.\)

Câu 17: Trong hệ tục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;2} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3z + 1 = 0\) có phương trình

     A. \(x - 3z - 4 = 0.\)           B. \(2x + y + 2z - 3 = 0.\)  C. \(x - 3z + 1 = 0.\)          D. \(x - 3z + 4 = 0.\)

Câu 18: Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) (\(m\) là tham số thực) thỏa mãn \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = 3.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     A. \(1 \le m < 3.\)              B. \(m < 1.\)                       C. \(3 < m \le 6.\)              D. \(m > 6.\)

Câu 19: \({\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt[5]{{{a^6}}}\,\,\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)\) có giá trị bằng

1. A.    \(\frac{5}{6}\)              B. \( - \frac{5}{6}\)            C. \( - \frac{6}{5}\)            D. \(\frac{6}{5}\)

Câu 20: Tập nghiệm của phương trình: \({2^{{x^2} - x - 4}} = \frac{1}{{16}}\) là

     A. \(\left\{ {0;1} \right\}\) B. \(\left\{ { - 2;2} \right\}\)   C. \(\left\{ {2;4} \right\}\)      D. \(\emptyset \)

Câu 21: Trong hệ tục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 5 = 0.\) Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tọa độ là

     A. \(\left( {1; - 2;0} \right)\)                                        B. \(\left( { - 2;4;0} \right)\)       C. \(\left( { - 1;2;0} \right)\)                                   D. \(\left( {2;4;0} \right)\)

Câu 22: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

     A. \(\int {\sin x{\rm{d}}x}  = C - \cos x.\)                       B. \(\int {2{e^x}{\rm{d}}x}  = 2\left( {{e^x} + C} \right).\)                                 

     C. \(\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x}  = \ln x + C.\)              D. \(\int {{x^3}{\rm{d}}x}  = \frac{{{x^4} + C}}{4}.\)

Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 4} \right) > 0?\)

     A. \(3\)                               B. \(2\)                               C. \(1\)                               D. \(0\)

Câu 24: Cho \(a,\,\,b > 0\) thỏa mãn \({a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}},\,\,{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}.\) Khi đó:

     A. \(0 < a < 1,\,\,0 < b < 1\)                                         B. \(0 < a < 1,\,\,b > 1\)     C. \(a > 1,\,\,b > 1\)    D. \(a > 1,\,\,0 < b < 1\)

Câu 25: Cho hàm số \(y = {\log _3}\left( {x - {x^2}} \right)\) có tập xác định là

     A. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)                                  B. \(\mathbb{R}\)             C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)                                   D. \(\left( {0;1} \right)\)

Câu 26: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)          

     B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right).\)                               

     C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)         

     D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Câu 27: Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích là \(V.\) Thể tích khối tứ diện \(A'BDC'\) bằng

     A. \(\frac{V}{{12}}\)         B. \(\frac{V}{3}\)              C. \(\frac{V}{4}\)                        D. \(\frac{V}{6}\)

Câu 28: Đồ thị \(\left( C \right)\) có hình vẽ bên

Tất cả giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\) có \(3\) điểm cực trị là

     A. \(m \le  - 1\) hoặc \(m \ge 3.\)                                 B. \(m \le  - 3\) hoặc \(m \ge 1.\) C. \(m =  - 1\) hoặc \(m = 3.\)                                D. \(1 \le m \le 3.\)

Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 5\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) là

     A. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 0\)                                    B. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 5\)                               C. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 7\) D. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 3\)

Câu 30: Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 5\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

     A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)                         B. \(\left( {0;2} \right)\)     C. \(\left( { - \infty ;2} \right)\)                                   D. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Câu 31: Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 4\) có bao nhiêu điểm cực trị?

     A. \(3\)                               B. \(1\)                               C. \(2\)                               D. \(0\)

Câu 32: Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m.\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {2m - 4} \right)x + 1\) đạt cực đại tại \(x = 2.\)

     A. \(\forall m.\)                 B. \(m < 4\)                        C. \(m > 4\)                       D. \(m \ne 4.\)

Câu 33: Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V.\) Điểm \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,A'C'.\) Mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) chia khối trụ thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa điểm \(A\) bằng

     A. \(\frac{{3V}}{5}\)         B. \(\frac{{5V}}{8}\)         C. \(\frac{{23V}}{{36}}\)  D. \(\frac{{7V}}{{12}}\)

Câu 34: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

     A. \(0\)                               B. \(1\)                               C. \(2\)                               D. \(3\)

Câu 35: Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) cho hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right),\,\,B\left( {1; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2z + 1 = 0.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) song song với \(\left( P \right)\) và có khoảng cách đến \(B\) nhỏ nhất. Khi đó, khoảng cách từ \(B\) đến \(\Delta \) bằng

     A. \(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)                                          B. \(\frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)          C. \(\frac{{6\sqrt 5 }}{5}\)                                     D. \(3\sqrt 2 \)

Câu 36: Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\) là

     A. \(\left( {0; + \infty } \right)\)                                  B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)  C. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)                                D. \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Câu 37: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\left( C \right),\) đồ thị \(\left( C \right)\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

     A. \(0\)                               B. \(3\)                               C. \(2\)                               D. \(1\)

Câu 38: Khối chóp có diện tích đáy bằng \(3,\) chiều cao bằng \(1\) thì thể tích khối chóp đó bằng

     A. \(\frac{1}{3}\)               B. \(6\)                               C. \(3\)                               D. \(1\)

Câu 39: Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA = 1,\,\,OB = 2,\,\,OC = 3\) và \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc. Thể tích của khối tứ diện \(OABC\) bằng

     A. \(6\)                               B. \(1\)                               C. \(2\)                               D. \(3\)

Câu 40: Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) mặt cầu có tâm \(I\left( {2;1;3} \right)\) và bán kính \(R = 2,\) có phương trình

     A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)          B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\)          

     C. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\)        D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\)

Câu 41: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B,\,\,SA\) vuông góc với đáy. Biết \(AB = a\sqrt 2 ,\) \(BC = a,\) góc tạo bởi \(SC\) và \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(30^\circ .\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng

     A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)                                   B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)  C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)  D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Câu 42: Đường cong ở hình dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số ở dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

     A. \(y = 2{x^3} - {x^2} + 6x + 1\)                                   B. \(y =  - 2{x^3} - 6{x^2} - 6x + 1\)  

     C. \(y = 2{x^3} - 6{x^2} - 6x + 1.\)                            D. \(y = 2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 1\)

Câu 43: Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB,\) biết \(A\left( {1;3;0} \right),\,\,B\left( { - 2;1; - 1} \right).\) Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)

     A. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 3;2; - 1} \right)\)                                 B. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {3; - 2; - 1} \right)\)                               C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( { - 3;4;1} \right)\)                                   D. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;2;1} \right)\)

Câu 44: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

     A. \(0\)                               B. \( - 1\)                            C. \( - \frac{5}{2}\)            D. \(1\)

Câu 45: Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5.\) Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có tâm \(I\) và bán kính là

     A. \(I\left( {1;2;0} \right),\,\,r = 2\)                                 B. \(I\left( {0;0; - 1} \right),\,\,r = \sqrt 3 \)  

     C. \(I\left( {1;2;0} \right),\,\,r = 1\)                                 D. \(I\left( { - 1; - 2;0} \right),\,\,r = 1\)

Câu 46: Phương trình: \({3.4^x} + \left( {3x - 10} \right){.2^x} + 3 - x = 0\) có \(1\) nghiệm dạng \( - {\log _a}b\) với \(a,\,\,b\) nguyên dương. Tìm \(a + 2b\)

     A. \(6\)                               B. \(10\)                             C. \(8\)                               D. \(4\)

Câu 47: Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) vectơ chỉ phương của trục \(Oy\) có tọa độ

     A. \(\left( {0;0;1} \right)\)                                           B. \(\left( {1;0;0} \right)\) C. \(\left( {0;1;0} \right)\)     D. \(\left( {1;0;1} \right)\)

Câu 48: Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) khác \(1\) thỏa \({\log _a}b + {\log _c}b = {\log _a}2016.{\log _c}b.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. \(bc = 2016\)                 B. \(ab = 2016\)                 C. \(ac = 2016\)                 D. \(abc = 2016\)

Câu 49: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Điểm \(M\) là trung điểm của \(CD.\) Khoảng cách giữa \(2\) đường thẳng \(SM\) và \(BD\) bằng

     A. \(\frac{{a\sqrt {30} }}{{20}}\)                                B. \(\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\)  C. \(\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)                        D. \(\frac{{a\sqrt {33} }}{{11}}\)

Câu 50: Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 1\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

     A. \(m \ge 3\)                     B. \(m < 3\)                        C. \(m \le 3\)                      D. \(m > 3\)

Đáp án chi tiết

Câu 1 (VD) Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}\). Có tất cả bao nhiêu giá trị \(m\) để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.

     A. \(2\)                               B. \(1\)                               C. \(0\)                               D. \(3\)

Phương pháp:

Đồ thị hàm số luôn có \(1\) tiệm cận ngang, vì vậy để hàm số có đúng hai tiệm cận thì đồ thị hàm số cần có đúng \(1\) tiệm cận đứng.

Cách giải:

Xét \(m = 0,\) khi đó \(y = \frac{{x - 1}}{{ - 2x + 3}}.\) Đồ thị hàm số có \(1\) tiệm cận đứng \(x = \frac{3}{2}\) và \(1\) tiệm cận ngang \(y =  - \frac{1}{2}\) nên \(m = 0\) thỏa mãn.

Xét \(m \ne 0,\) đồ thị hàm số có \(1\) tiệm cận đứng khi phương trình \(m{x^2} - 2x + 3\) có nghiệm \(x = 1\) hoặc có nghiệm kép.

-          Phương trình \(m{x^2} - 2x + 3\) có nghiệm \(x = 1\) khi \(m =  - 1\) (thỏa mãn).

-          Phương trình \(m{x^2} - 2x + 3\) có nghiệm kép khi \(\Delta ' = 1 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Vậy có 3 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Câu 2 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính đạo hàm: \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}.\)

Cách giải:

Ta có \(y' = {\left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } = \frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}} = \frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}}.\)

Chọn C.

Câu 3 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa sự biến thiên của hàm số.

Cách giải:

Ta có \({\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} > 0,\,\,\forall x \ne 0\) nên hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

Chọn B.

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

Cosin góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\) là \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}\)

Cách giải:

Cosin góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) là \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{1.\left( { - 2} \right) + 1.1 + \left( { - 3} \right).0}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {55} }}\)

Chọn D.

Câu 5 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích trong hình chóp.

Cách giải:

Gọi giao điểm của \(\left( P \right)\) và các cạnh \(SA,\,\,SB,\,\,SC\) lần lượt là: \(M,\,\,N,\,\,P \Rightarrow M\) là trung điểm \(SA.\)

Vì \(\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)\) nên \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\)

Ta có: \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}V\).

Vậy thể tích khối chóp cụt tạo thành bằng \(V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V.\)

Chọn D.

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

Đặt điều kiện, bỏ logarit hai vế, đưa về phương trình đại số.

Cách giải:

Điều kiện: \(0 < x < \sqrt[4]{{32}}.\)

Ta có \(\log \left( {32 - {x^4}} \right) = \log {x^4} \Leftrightarrow 32 - {x^4} = {x^4} \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x =  \pm 2\) (thỏa mãn)

Chọn B.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Chuyển về nguyên hàm dạng \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{ax + b}}} .\)

Cách giải:

Ta có \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}}  = \int {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 1}}}  - \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}}  = \ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + C.\)

Chọn B.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

Tính \(F'\left( x \right)\)

Cách giải:

Ta có \(F'\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Chọn B.

Câu 9 (VD)

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu của \(g'\left( x \right)\)

Cách giải:

Ta có \(g'\left( x \right) = {\left[ {f\left( {{x^2} - 2} \right)} \right]^\prime } = 2xf'\left( {{x^2} - 2} \right).\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2xf'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = a\,\,\left( { - 2 < a < 0} \right)\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt {a + 2} \\x =  \pm 2\end{array} \right..\)

Chú ý: Nghiệm \(x =  \pm \sqrt {a + 2} \) là nghiệm bội chẵn nên qua đó dấu đạo hàm không đổi.

Ta có bảng xét dấu của \(g'\left( x \right)\)

Từ bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;0} \right).\)

Suy ra mệnh đề B sai.

Chọn B.

Câu 10 (VD)

Phương pháp:

- Khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {SBC} \right)\) bằng khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\).

- Sử dụng tỉ lệ khoảng cách.

Cách giải:

Vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên \({d_{D/\left( {SBC} \right)}} = {d_{A/\left( {SBC} \right)}} = d.\)

Vì \(M\) là trung điểm \(SD\) nên \({d_{M/\left( {SBC} \right)}} = \frac{1}{2}{d_{D/\left( {SBC} \right)}} = \frac{d}{2}.\)

Chọn B.

Câu 11 (VD)

Phương pháp:

- Tính nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), sau đó thay \(x = 1\) tìm \(C.\)

Cách giải:

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {x - {x^{ - 2}}} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + C.\)

Vì \(F\left( 1 \right) = 0\) nên \(C =  - \frac{3}{2}.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2}.\)

Chọn C.

Câu 12 (VD)

Phương pháp:

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi \(y' > 0,\,\,\forall x > 2\)

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi \(y' > 0,\,\,\forall x > 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 > 0\\m \ge  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2 \le m <  - 1\end{array} \right..\)

Chọn B.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

- Tính diện tích đáy, rồi tính thể tích lăng trụ.

Cách giải:

Diện tích đáy của hình lăng trụ là: \({S_d} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Thể tích hình lăng trục là: \(V = 2a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Chọn C.

Câu 14 (NB)

Phương pháp:

- Xác định khoảng nghịch biến dựa vào bảng biến thiên.

Cách giải:

Từ bảng biến thiên, hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\)

Chọn D.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

- Dựa vào dáng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương.

Cách giải:

Hàm số có chiều lõm hướng xuống nên \(a < 0.\)

Hàm số có ba điểm cực trị nên \(ab < 0 \Rightarrow b > 0.\)

Hàm số cắt trục tung tại điểm nằm bên dưới trục hoành nên \(c < 0.\)

Vậy \(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0.\)

Chọn D.

Câu 16 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và song song với trục \(Oz\) nên nhận vectơ \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{Oz}}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;3} \right);\,\,\overrightarrow {{u_{Oz}}}  = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{Oz}}} } \right] = \left( {1; - 2;0} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) nên đi qua điểm \(\left( {1;0; - 3} \right).\)

Vậy phương trình \(\left( P \right)\) là: \(\left( P \right):\left( {x - 1} \right) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0.\)

Chọn A.

Câu 17 (VD)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sẽ nhận vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) làm vectơ pháp tuyến

Cách giải:

Vì \(\left( Q \right)\,{\rm{//}}\,\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;0; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là: \(\left( Q \right):1.\left( {x - 2} \right) - 3.\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3z + 4 = 0.\)

Chọn D.

Câu 18 (VD)

Phương pháp:

- Hàm số đã cho là bậc nhất nên để hàm số có GTNN trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì hàm số phải xác định trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 0 \right)\) hoặc \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 1 \right)\).

Cách giải:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Vì hàm số xác định trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 0 \right)\) hoặc \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 1 \right)\).

Để \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\f\left( 0 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\m = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m = 3\end{array} \right.\) (loại).

Để \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 1 \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\f\left( 1 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\\frac{{m + 1}}{2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 5 \in \left( {3;6} \right].\)

Chọn C.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức Logarit

Cách giải:

Ta có: \({\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt[5]{{{a^6}}} = {\log _{{a^{ - 1}}}}{a^{\frac{6}{5}}} =  - \frac{6}{5}{\log _a}a =  - \frac{6}{5}.\)

Chọn C.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

- Đưa về phương trình mũ cùng cơ số, sau đó bỏ cơ số, giải phương trình bậc hai thu được.

Cách giải:

Ta có: \({2^{{x^2} - x - 4}} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x - 4}} = {2^{ - 4}} \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 =  - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..\)

Chọn A.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Đưa về phương trình tổng quát của mặt cầu.

Cách giải:

Ta có: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 10.\)

Vậy mặt cầu có tâm là \(\left( {1; - 2;0} \right)\).

Chọn A.

Câu 22 (NB)

Phương pháp:

- Sử dụng định nghĩa nguyên hàm các hàm cơ bản.

Cách giải:

Ta có: \(\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x}  = \ln \left| x \right| + C.\)

Chọn C.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

- Bỏ Logarit hai vế, đưa về phương trình bậc hai.

Cách giải:

Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 5x + 4 < 1\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \({x^2} - 5x + 4 \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \emptyset \)

Chọn D.

Câu 24 (NB)

Phương pháp:

- Áp dụng điều kiện hàm số mũ và so sánh hai số mũ cùng cơ số.

Cách giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}}\\{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < b < 1\end{array} \right..\)

Chọn D.

Câu 25 (NB)

Phương pháp:

- Sử dụng điều kiện xác định của hàm logarit.

Cách giải:

Điều kiện xác định: \(x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \Rightarrow D = \left( {0;1} \right)\).

Chọn D.

Câu 26 (NB)

Phương pháp:

- Dựa vào đồ thị, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Chọn C.

Câu 27 (VD)

Phương pháp:

- Chia khối hộp thành các khối tứ diện nhỏ hơn.

Cách giải:

Ta chia khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) thành 5 khối tứ diện: \(A'BDC',\,\,BA'B'C',\,\,DA'C'D',\,\,C'BCD,\,\,A'ABD\) trong đó các khối tứ diện \(BA'B'C',\,\,DA'C'D',\,\,C'BCD,\,\,A'ABD\) có thể tích bằng nhau và bằng \(\frac{V}{6}\).

Vậy thể tích khối tứ diện \(A'BDC'\) là: \({V_{A'BDC'}} = V - 4.\frac{V}{6} = \frac{V}{3}.\)

Chọn B.

Câu 28 (VD)

Phương pháp:

- Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) theo trục tung.

- Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\) gồm hai phần: Phần đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) ứng với \(x \ge 0\) và phần đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) lấy đối xứng qua trục hoành ứng với \(x < 0.\)

- Số cực trị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) cộng với số cực trị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\).

Cách giải:

- Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) theo trục tung.

- Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\) gồm hai phần: Phần đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) ứng với \(x \ge 0\) và phần đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) lấy đối xứng qua trục hoành ứng với \(x < 0.\)

- Số cực trị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) cộng với số cực trị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\).

Mà số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) bằng số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng \(2\) nên để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\) có \(3\) điểm cực trị thì đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + m\) phải cắt trục hoành tại 1 điểm hoặc tại 2 điểm trong đó có 1 điểm là cực trị.

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l} - m \ge 1\\ - m \le  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m \ge 3\end{array} \right..\)

Chọn A.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

- GTNN của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 5\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) đạt được tại giá trị \(x\) thỏa mãn \(y' = 0\) hoặc \(x = 2\) hoặc \(x = 4.\)

Cách giải:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow y =  \pm 1 \notin \left[ {2;4} \right]\).

Mà \(f\left( 2 \right) = 7,\,\,f\left( 4 \right) = 57\) nên \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 7\).

Chọn C.

Câu 30 (NB)

Phương pháp:

- Tìm khoảng giá trị \(x\) thỏa mãn \(y' > 0,\,\,\forall x\) thuộc khoảng đó.

Cách giải:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..\)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn A.

Câu 31 (NB)

Phương pháp:

- Số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình \(y' = 0.\)

Cách giải:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) là nghiệm bội chẵn.

Vậy hàm số không có điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 32 (TH)

Phương pháp:

- Hàm số đa thức bậc ba đạt cực đại tại \(x = {x_0}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right..\)

Cách giải:

Ta có: \(y' = {x^2} - mx + \left( {2m - 4} \right);\,\,y'' = 2x - m.\)

Để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m.\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {2m - 4} \right)x + 1\) đạt cực đại tại \(x = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}4 - 2m + 2m - 4 = 0\\4 - m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4.\)

Chọn C.

Câu 33 (VDC)

Phương pháp:

- Tìm thiết diện của \(\left( {BMN} \right)\) với hình lăng trụ.

- Sử dụng phương pháp tỉ lệ thể tích, chia khối đa diện.

Cách giải:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(CC',\,\,K\) là giao điểm của \(BI\) và \(B'C'.\)

Khi đó \(MNKB\) là thiết diện của \(\left( {BMN} \right)\) với hình lăng trụ, chia hình lăng trục thành hai khối đa diện.

Ta chia khối đa diện \(A'MBB'N\) thành hai khối chóp là: \(M.A'BN\) và \(B.A'NKB'.\)

Ta có: \({S_{MNP}} = \frac{1}{4}{S_{AA'C'}} = \frac{1}{8}{S_{AA'C'C}} \Rightarrow {V_{B.A'MN}} = \frac{1}{8}{V_{B.AA'C'C}}.\)

Mà: \({V_{B.AA'C'C}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}V \Rightarrow {V_{B.A'MN}} = \frac{V}{{12}}.\)

Gọi \(J\) là giao điểm của \(AC\) và \(MN.\)

Ta có: \(\Delta MA'N = \Delta MAJ \Rightarrow JA = A'N = \frac{1}{2}AC \Rightarrow \frac{{NC'}}{{JC}} = \frac{1}{3}.\)

Vì \(NC'\,{\rm{//}}\,CJ\) nên \(\frac{{IC'}}{{IC}} = \frac{{NC'}}{{JC}} = \frac{1}{3}.\)

Vì \(C'K\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\frac{{C'K}}{{BC}} = \frac{{IC'}}{{IC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{C'K}}{{B'C'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {S_{NKC'}} = \frac{1}{6}{S_{A'B'C'}} \Rightarrow {S_{A'NKB'}} = \frac{5}{6}{S_{A'B'C'}}\)

\( \Rightarrow {V_{B.A'NKB'}} = \frac{5}{6}{V_{B.A'B'C'}} = \frac{5}{6}.\frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{5}{{18}}V.\)

Suy ra: \({V_{A'MBB'N}} = \frac{V}{{12}} + \frac{{5V}}{{18}} = \frac{{13V}}{{36}} \Rightarrow \) Thể tích khối đa diện chứa điểm \(A\) bằng \(V - \frac{{13V}}{{36}} = \frac{{23V}}{{36}}.\)

Chọn C.

Câu 34 (TH)

Phương pháp:

- Tính các giới hạn, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0\) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow x =  - 2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow x = 0\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Chọn D.

Câu 35 (VDC)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \): \({d_{B/\Delta }} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\).

Cách giải:

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta .\)

Vì đường thẳng \(\Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \Rightarrow a - 2c = 0 \Leftrightarrow a = 2c \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2c;b;c} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 1; - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {b - c; - 6c;4b + 2c} \right).\)

Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:

\({d_{B/\Delta }} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {b - c} \right)}^2} + 36{c^2} + {{\left( {4b + 2c} \right)}^2}} }}{{\sqrt {4{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \sqrt {\frac{{17{b^2} + 14bc + 41{c^2}}}{{{b^2} + 5{c^2}}}} .\)

Với \(c = 0,\) ta có: \({d_{B/\Delta }} = \sqrt {17} .\)

Với \(c \ne 0,\) ta có: \({d_{B/\Delta }} = \sqrt {\frac{{17{{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^2} + 14\left( {\frac{b}{c}} \right) + 41}}{{{{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^2} + 5}}}  = \sqrt {\frac{{17{t^2} + 14t + 41}}{{{t^2} + 5}}} \) với \(t = \frac{b}{c}.\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{17{t^2} + 14t + 41}}{{{t^2} + 5}};\,\,f'\left( t \right) = \frac{{ - 14{t^2} + 88t + 70}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}}.\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 7\\t =  - \frac{5}{7}\end{array} \right..\)

Mà \(f\left( 7 \right) = 18;\,\,f\left( { - \frac{5}{7}} \right) = \frac{{36}}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{t \to  \pm \infty } f\left( t \right) = 17\) nên \(\min f\left( t \right) = f\left( { - \frac{5}{7}} \right) = \frac{{36}}{5}.\)

Do đó khoảng cách nhỏ nhất từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{{6\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn C.

Câu 36 (NB)

Phương pháp:

- Sử dụng điều kiện xác định của hàm số lũy thừa.

Cách giải:

Điều kiện xác định: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1 \Rightarrow D = \left( {1; + \infty } \right).\)

Chọn D.

Câu 37 (NB)

Phương pháp:

- Tính số tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị.

Cách giải:

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\) nên đồ thị hàm số có \(2\) tiệm cận gồm \(1\) tiệm cận ngang và \(1\) tiệm cận đứng.

Chọn C.

Câu 38 (NB)

Phương pháp:

- Khối chóp có diện tích đáy \({S_d}\), chiều cao ứng với đáy \(h\) thì có thể tích là: \(V = \frac{1}{3}h{S_d}.\)

Cách giải:

Thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}.1.3 = 1.\)

Chọn D.

Câu 39 (TH)

Phương pháp:

- Khối tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc có thể tích là: \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC.\)

Cách giải:

Thể tích khối tứ diện là: \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.3 = 1.\)

Chọn B.

Câu 40 (NB)

Phương pháp:

- Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.\)

Cách giải:

Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {2;1;3} \right),\) bán kính \(R = 2\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\).

Chọn A.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Tính chiều cao \(SA\) và diện tích đáy là tam giác \(ABC,\) từ đó tính được thể tích hình chóp.

Cách giải:

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC.\)

Mà tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\).

Suy ra: \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {BSC} = 30^\circ .\)

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat {BSC} = 30^\circ \) nên \(SB = BC.\cot 30^\circ  = a.\sqrt 3  = a\sqrt 3 .\)

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}}  = a.\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{6}.SA.AB.BC = \frac{1}{6}.a.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\)

Chọn B.

Câu 42 (NB)

Phương pháp:

- Sử dụng điều kiện đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;3} \right)\).

Cách giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;3} \right)\) nên chọn D.

Chọn D.

Câu 43 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ pháp tuyến.

Cách giải:

Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 2; - 1} \right)\) hay \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;2;1} \right).\)

Chọn D.

Câu 44 (NB)

Phương pháp:

- Tìm giá trị cực tiểu của hàm số từ bảng biến thiên.

Cách giải:

Từ bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là \( - \frac{5}{2}.\)

Chọn C.

Câu 45 (VD)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có tâm \(I\) là hình chiếu của tâm mặt cầu lên \(\left( {Oxy} \right)\) và bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}} \), trong đó \(R\) là bán kính mặt cầu và \(h\) là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến \(\left( {Oxy} \right)\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là: \(S\left( {1;2; - 1} \right).\) Hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(I\left( {1;2;0} \right).\)

Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là: \(SI = 1.\)

Bán kính đường tròn giao tuyến là: \(r = \sqrt {5 - 1}  = 2.\)

Chọn A.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Biến đổi về phương trình tích, từ đó giải phương trình tích, tìm nghiệm.

Cách giải:

Ta có: \({3.4^x} + \left( {3x - 10} \right){.2^x} + 3 - x = 0 \Leftrightarrow {3.4^x} - {2^x} + 3\left( {x - 3} \right){.2^x} - \left( {x - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {2^x}.\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) + \left( {x - 3} \right).\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{{3.2}^x} - 1} \right)\left( {{2^x} + x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3.2^x} - 1 = 0\\{2^x} + x - 3 = 0\end{array} \right..\)

Với \({3.2^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {2^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{1}{3} =  - {\log _2}3.\)

Với \({2^x} + x - 3 = 0,\) ta có hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x - 3\) là hàm đồng biến nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

Vậy \(a = 2,\,\,b = 3 \Rightarrow a + 2b = 8.\)

Chọn C.

Câu 47 (NB)

Phương pháp:

- Tìm vectơ chỉ phương của trục \(Oy.\)

Cách giải:

Trục \(Oy\) có vectơ chỉ phương là: \(\left( {0;1;0} \right).\)

Chọn C.

Câu 48 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng các công thức biến đổi Logarit.

Cách giải:

Ta có: \({\log _a}b + {\log _c}b = {\log _a}2016.{\log _c}b \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} + {\log _c}b = {\log _a}2016.{\log _c}b\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_c}a}} + 1 = {\log _a}2016 \Leftrightarrow {\log _a}c = {\log _a}\frac{{2016}}{a} \Leftrightarrow ac = 2016.\)

Chọn C.

Câu 49 (VDC)

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tỉ lệ khoảng cách.

Cách giải:

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BD \Rightarrow {d_{\left( {SM,BD} \right)}} = {d_{\left( {BD,\left( {SMN} \right)} \right)}} = {d_{\left( {O,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{1}{3}{d_{\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{1}{2}{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}}.\)

Vì tam giác \(SAB\) đều có cạnh bằng \(a\) nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

\(H\) là trung điểm \(AB,\,\,N\) là trung điểm \(CD\) nên \(HN \bot MN\) và \(HN = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trên \(SN.\)

Ta có: \(\frac{1}{{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}^2}} = \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow {d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}.\)

Vậy \({d_{\left( {SM,BD} \right)}} = \frac{1}{2}{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{20}}.\)

Chọn A.

Câu 50 (VD)

Phương pháp:

- Hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{b^2} - 3ac \le 0\end{array} \right..\)

Cách giải:

Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\9 - 3m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 3.\)

Chọn A.