Đề số 5 – Đề kiểm tra học kì 1 – Toán 12

Đề bài

Câu 1: Nếu \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 4{\log _2}b,\,\,\left( {a > 0,b > 0} \right)\) thì giá trị của x bằng

      A. \({a^4}{b^5}\)             B. 4a + 5b.                         C. \({a^5}{b^4}\)             D. \(5a + 4b\)

Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có bao nhiêu nghiệm thực?

      A. 2                                   B. 4                                   C. 3                                   D. 1

Câu 3: Thể tích V của khối phương có cạnh bằng a là

      A. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\)                                    B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\)       C. \(V = 3{a^3}\)      D. \(V = {a^3}\)

Câu 4: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) và có bảng biên thiên như hình vẽ. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

      A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

      B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

      C. Hàm số  nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) .

      D. Hàm số  đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Câu 5: Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{2x - 3}}\) bằng

      A. 2                                   B. 3                                   C. 0                                   D. 1

Câu 6: Cho khối lặng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 6a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

      A. \(V = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)                       B. \(V = 6{a^3}\)              C. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)                          D. \(V = 2{a^3}\)

Câu 7: Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4},\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}\) với \(a > 0\) ta được kết quả \(A = {a^{\frac{m}{n}}}\), trong đó \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

      A. \({m^2} + {n^2} = 409\)                                       B. \({m^2} + {n^2} = 543\)          C. \({m^2} - {n^2} = 312\)                                     D. \({m^2} - {n^2} =  - 312\)

Câu 8: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

      A. \(f\left( { - 1} \right) \ge f\left( 1 \right)\)              B.\(f\left( \pi  \right) > f\left( 3 \right)\)    C. \(f\left( 3 \right) < f\left( 2 \right)\)         D. \(f\left( \pi  \right) = f\left( e \right)\)

Câu 9: Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là

      A. \(V = \pi {r^2}h\)         B. \(V = \pi rh\)                 C. \(V = \frac{1}{2}\pi {r^2}h\)  D. \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Câu 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

      A. \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\)                               B. \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\)    C. \(y = {x^3} - 3x + 2\)  D. \(y = {x^4} + 3{x^2} - 1\)

Câu 11: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

      A. \(y = {2^{ - x}}\)         B. \(y = {e^x}\)                 C. \(y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}\)        D. \(y = {2019^{\frac{x}{2}}}\)

Câu 12: Một khối chóp có thể tích \(V\) và có diện tích đáy bằng \(S\). Chiều cao \(h\) của khối chóp đó bằng

      A. \(h = V.S\)                    B. \(h = \frac{{3V}}{S}\) C. \(h = \frac{V}{S}\)      D. \(h = \frac{V}{{3S}}\)

Câu 13: Cho khối chóp \(S.ABC\) có thể tích \(V\). Gọi \(B',\,C'\) lần lượt là trung điểm \(AB\) và \(AC\), tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(S.AB'C'\).

      A. \(\frac{1}{4}V\)          B. \(\frac{1}{2}V\)           C. \(\frac{1}{3}V\)          D. \(\frac{1}{{12}}V\)

Câu 14: Một ngưới có 58000000 đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với kỳ hạn 1 tháng (theo hình thức lãi kép), sau đúng 8 tháng thì lĩnh về được 61328000 đồng cả gốc và lãi. Tìm lãi suất hàng tháng.

      A. \(0,6\% /\) tháng.          B. \(0,7\% \)/ tháng           C. \(0,8\% \)/ tháng           D. \(0,5\% \)/ tháng

Câu 15: Trong không gian cho hai điểm \(A,\,\,B\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho diện tích tam giác \(MAB\) không đổi là

      A. Một mặt trụ.                 B. Một mặt nón.                C. Hai đường thẳng song song     D. Một điểm.

Câu 16: Điều kiện xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\) là

9    A. \(x \ne 1\)                      B. \(x < 1\)                         C. \(x > 1\)                        D. \(x \in \mathbb{R}\)

Câu 17: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.

Xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

      A. 3.                                  B. 1.                                  C. 2.                                  D. 6.

Câu 18: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

      A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)                        B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)

      C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)                        D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\)

Câu 19: Hàm số nào sau đây được gọi là hàm số lũy thừa?

      A. \(y = {e^x}\).                B. \(y = {2019^{ - x}}\)   C. \(y = {x^{ - 2019}}\)   D. \(y = \ln x\)

Câu 20: Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\) có đồ thị như hình 1.

Đồ thị hình 2 là của một trong bốn hàm số sau đây. Hỏi đó là hàm số nào?

      A. \(y = \left| {{{\left| x \right|}^2} + 3{x^2} - 2} \right|\)                                  B. \(y = \left| {{x^3} + 3{x^2} - 2} \right|\)                 C. \(y = {\left| x \right|^3} + 3{\left| x \right|^2} - 2\)          D. \(y =  - {x^3} - 3{x^2} + 2\)

Câu 21: Biết rằng đường thẳng \(y =  - 2x + 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + x + 2\) tại điểm duy nhất có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Tìm \({y_0}\)?

      A. \({y_0} =  - 1\)             B. \({y_0} = 4\)                 C. \({y_0} = 0\)                D. \({y_0} = 2\)

Câu 22: Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\)là:

      A. \(\mathbb{R}\)             B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)                                  C. \(\left[ {2; + \infty } \right)\)                                    D. \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Câu 23: Hình lăng trụ tam giác có tất cả bao nhiêu cạnh?

      A. 9.                                  B. 6.                                  C. 10.                                D. 12.

Câu 24: Cho \(0 < a \ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

      A. Tập xác định của hàm số \(y = {a^x}\) là khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

      B. Tập xác định của hàm số \(y = {a^x}\) là tập \(\mathbb{R}\).

      C. Tập xác định của hàm số \(y = {\log _a}x\) là \(\mathbb{R}\).

      D. Tập giá trị của hàm số \(y = {\log _a}x\) là \(\mathbb{R}\).

Câu 25: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) và đồ thị hàm số như hình vẽ. Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\). Ta có \(M + m\) bằng

      A. 2                                   B. 4                                   C. 1                                   D. 0

Câu 26: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) như hình dưới.

Khẳng định nào sau đây sai?

      A. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\)                            B. Hàm số có hai điểm cực trị.

      C. Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 3\)                          D. \(x = 1\) là điểm cực trị của hàm số.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 4}}{{x + m - 1}}\) có tiệm cận đứng.

      A. \(m = 3\)                       B. \(m \ne  - 1\)                 C. \(m \ne 1\)                     D. \(m =  - 3\)

Câu 28: Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 5}}{{x + 1}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?

      A. 2                                   B. 0                                   C. 1                                   D. 3

Câu 29: Cho tứ diện \(OABC\) với \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = 3a,\) \(OB = OC = 2a\). Thể tích \(V\) của khối tứ diện đó là

      A. \(V = 3{a^3}\)              B. \(V = 2{a^3}\)              C. \(V = {a^3}\)                D. \(V = 6{a^3}\)

Câu 30: Một khối nón có bán kính đáy \(r = 2\), đường cao \(h = 3\) thì có thể tích \(V\) là:

      A. \(V = 2\pi \)                  B. \(V = 12\pi \)                C. \(V = 4\pi \)                  D. \(V = 6\pi \)

Câu 31: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 2019\). Với các số thực \(a,\,\,b\) thực thỏa mãn \(a < b\), giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) bằng:

      A. \(f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\)                     B. \(f\left( {\sqrt {ab} } \right)\)   C. \(f\left( a \right)\)      D. \(f\left( b \right)\)

Câu 32: Cho \(a > 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

      A. \({a^{ - \sqrt 3 }} > {a^{ - \sqrt 5 }}\)                   B. \(\sqrt[3]{{{a^2}}} > a\)          C. \({a^{\frac{1}{3}}} > \sqrt a \)                                        D. \(\frac{1}{{{a^{2019}}}} < \frac{1}{{{a^{2020}}}}\)

Câu 33: Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\frac{{10 - x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) là:

      A. \(D = \left( {2;10} \right)\)                                     B. \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;10} \right)\)                                    C. \(D = \left( { - \infty ;10} \right)\)                          D. \(D = \left( {1; + \infty } \right)\)

Câu 34: Hàm số \(y = {2^{2\ln x + 2{x^2}}}\) có đạo hàm là

      A. \(y' = \left( {\frac{1}{x} + 2x} \right){.2^{2\ln x + 2{x^2}}}.\ln 2\)             B. \(y' = \frac{{{4^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)

      C. \(y' = \left( {\frac{1}{x} + 2x} \right){.4^{2\ln x + 2{x^2}}}.\ln 4\)             D. \(y' = \left( {\frac{1}{x} + 2x} \right).\frac{{{2^{2\ln x + 2{x^2}}}}}{{\ln 2}}\)

Câu 35: Hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\) có đồ thị là một trong bốn hình sau đây. Hỏi đó là hình nào?

      A.               B.              C.                   D. 

Câu 36: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( S \right)\). Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) là các điểm phân biệt trên \(\left( S \right)\) có tiếp tuyến với  tại các điểm đó song song với nhau. Biết \(A,\,\,B,\,\,C\) cùng nằm trên một parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right)\).  Tìm \({y_0}\).

      A. \({y_0} =  - \frac{1}{6}\)                                      B. \({y_0} =  - \frac{1}{{36}}\)  C. \({y_0} = \frac{1}{{36}}\)                     D. \({y_0} = \frac{1}{6}\)

Câu 37: Tìm số dương \(b\) lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3b{x^2} + b - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;b} \right]\) bằng 10.

      A. \(b = 11\)                      B. \(b = \frac{3}{2}\)       C. \(b = \frac{5}{2}\)       D. \(b = 10\)

Câu 38: Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn điều kiện \(3{\left( {x + y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 4\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn \(m\left( {2xy + 1} \right) = 1010{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + 1010{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\).

      A. 1175                             B. 236                               C. 235                               D. 1176

Câu 39: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)\). Tính tổng \(S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2019} \right)\).

      A. \(S = \frac{{4039}}{{2020}}\)                             B. \(S = \frac{{2019}}{{2020}}\)           C. \(S =  - \frac{{2018}}{{2019}}\)       D. \(S =  - \frac{{2019}}{{2020}}\)

Câu 40: Cho hàm số \(y = 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x - 1\) với \(m\) là số thực. Tìm tất các giá trị của \(m\) để hàm số có các điểm cực trị và cực tiểu nằm trong khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\).

      A. \(m \in \left( { - 1;4} \right)\)                                 B. \(m \in \left( { - 1;3} \right) \cup \left( {3;4} \right)\)      C. \(m \in \left( {1;3} \right)\)                                    D. \(m \in \left( {3;4} \right)\)

Câu 41: Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3}\) tiếp xúc với trục hoành bằng

      A. \(\frac{2}{3}\)             B. 0                                   C. \(\frac{4}{3}\)             D. 1

Câu 42: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy \(r = 3cm\) và thể tích của khối nón được tạo nên từ hình nón là \(V = 9\pi \sqrt 3 c{m^3}\). Tính góc ở đỉnh của nón đó.

      A. \({60^0}\)                     B. \({30^0}\)                     C. \({45^0}\)                     D. \({120^0}\)

Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{4^{\sin x}} + m{{.6}^{\sin x}}}}{{{9^{\sin x}} + {4^{1 + \sin x}}}}\) không nhỏ hơn \(\frac{1}{3}\).

      A. \(m > \frac{2}{3}\)      B. \(m \ge \frac{2}{3}\)   C. \(m \ge \frac{{13}}{{18}}\)   D. \(\frac{2}{3} \le m \le \frac{{13}}{{18}}\)

Câu 44: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình \(f\left( x \right) < \sqrt {{x^2} + e}  + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 3; - 1} \right)\) khi và chỉ khi

      A. \(m \ge f\left( { - 1} \right) - \sqrt {e + 1} \)          B. \(m > f\left( { - 1} \right) - \sqrt {e + 1} \)       C. \(m \ge f\left( { - 3} \right) - \sqrt {e + 9} \)                     D. \(m > f\left( { - 3} \right) - \sqrt {e + 9} \)

Câu 45: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {4 - {x^2}} \right)g\left( x \right) + 2019\) với \(g\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2019x + 2020\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

      A. \(\left( { - \infty ;3} \right)\)                                   B. \(\left( { - 1;3} \right)\) C. \(\left( {3; + \infty } \right)\)                                    D. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Câu 46: Cho hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{{2019}^t}}}{{{{2019}^t} + m}}\) với \(m\) là tham số thực. Số các giá trị của tham số \(m\) để \(f\left( x \right) + f\left( y \right) = 1\) với mọi \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({e^{x + y - 1}} = e\left( {x + y - 1} \right)\) là:

      A. 0                                   B. 2                                   C. Vô số.                           D. 1

Câu 47: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, mặt bên \(SAB\) là tam giác đều có cạnh bằng \(a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).

      A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)                                 B. \({a^3}\)                       C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)                                    D. \(\frac{{{a^3}}}{3}\)

Câu 48: Độ dài các đường chéo của các mặt trong một hình hộp chữ nhật bằng \(\sqrt 5 ,\,\,\sqrt {10} ,\,\,\sqrt {13} \). Thể tích của khối hộp chữ nhật đó bằng

      A. 6                                   B. 8                                   C. 4                                   D. 5

Câu 49: Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp đó.

      A. \(8\sqrt 2 \)                   B. 18                                 C. 36                                 D. \(24\sqrt 3 \)

Câu 50: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Khi đó, thể tích của khối chóp bằng

      A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)                                 B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)   C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)  D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\\{\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\end{array}\)

Cách giải:

Ta có \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 4{\log _2}b\)

     \( \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}\left( {{a^5}.{b^4}} \right) \Leftrightarrow x = {a^5}{b^4}\)

Chọn C.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

- Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

- Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Ta có \(f\left( x \right) = 2\) có nghiệm là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Khối lập phương cạnh \(a\) có thể tích là \(V = {a^3}\).

Cách giải:

Khối lập phương cạnh \(a\) có thể tích là \(V = {a^3}\).

Chọn D.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào bảng biến thiên để xác định các khoảng đơn điệu của hàm số.

- Hàm số đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi hàm số liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

- Hàm số nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi hàm số liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Cách giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn A.

Chú ý khi giải: Không kết luận hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có TCN \(y = \frac{a}{c}\).

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{2x - 3}}\) có 1 đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\).

Chọn D.

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(B\) là: \(V = B.h\).

Cách giải:

Khối trụ tam giác đều có cạnh đáy \(a\) nên có diện tích đáy là \({S_d} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy thể tích khối lăng trụ là: .

Chọn A.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức: \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\), \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\,{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\).

Cách giải:

Ta có \(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{7}{3}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{ - \frac{5}{7}}}}} = \frac{{{a^6}}}{{{a^{\frac{{23}}{7}}}}} = {a^{\frac{{19}}{7}}}\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m = 19\\n = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = 410\\{m^2} - {n^2} = 312\end{array} \right.\).

Chọn C.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( a \right) > f\left( b \right) \Leftrightarrow a > b\).

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( a \right) > f\left( b \right) \Leftrightarrow a < b\).

Cách giải:

Vì \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó ta có: Vì \(\pi  > 3\) nên \(f\left( \pi  \right) > f\left( 3 \right)\).

Chọn B.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

Khối trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) thì có thể tích là \(V = \pi {r^2}h\).

Cách giải:

Khối trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) thì có thể tích là \(V = \pi {r^2}h\).

Chọn A.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Đồ thị hàm đa thức bậc ba không có trục đối xứng.

- Đồ thị hàm trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng.

- Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) không có trục đối xứng.

Cách giải:

Đồ thị hàm trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng nên đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} - 1\) làm trục đối xứng.

Chọn D.

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\) và nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(0 < a < 1\).

Cách giải:

Ta có \(y = {2^{ - x}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) là hàm số nghịch biến do \(0 < \frac{1}{2} < 1\).

Chọn A.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Khối chóp có diện tích đáy bằng \(S\) và chiều cao \(h\) thì có thể tích \(V = \frac{1}{3}Sh\).

Cách giải:

Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S}\).

Chọn B.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số thể tích Simpson.

Cách giải:

Ta có \(\frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.AB'C'}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{4}V\).

Chọn A.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức lãi kép: \({A_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\) trong đó

      \({A_n}\): số tiền nhận được sau \(n\) kỳ hạn.

      \(A\): số tiền gửi ban đầu.

      \(r\): lãi suất 1 kỳ hạn.

      \(n\): số kỳ hạn gửi.

Cách giải:

Gọi lãi suất 1 tháng là \(r\% \)/ tháng.

Vì người đó gửi \(58\,000\,000\) đồng và sau 8 tháng người đó lĩnh được \(61\,328\,000\) triệu đồng cả gốc và lãi nên ta có: \(61\,328\,000 = 58\,000\,000.{\left( {1 + r\% } \right)^8}\) \( \Leftrightarrow {\left( {1 + r\% } \right)^8} = \frac{{3833}}{{3625}} \Leftrightarrow 1 + r\%  \approx 1,007 \Leftrightarrow r \approx 0,7\,\% \).

Vậy lãi suất hàng tháng là \(0,7\% \).

Chọn B.

Câu 15 (TH)

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M;AB} \right).AB\).

- Sử dụng khái niệm hình trụ.

Cách giải:

Ta có: \({S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M;AB} \right).AB\). Do \(AB\) không đổi nên diện tích \(\Delta MAB\) không đổi khi \(d\left( {M;AB} \right)\) không đổi. Do đó tập hợp các điểm \(M\) là một mặt trụ.

Chọn A.

Câu 16 (NB)

Phương pháp:

Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \(f\left( x \right)\) xác định và \(f\left( x \right) > 0\).

Cách giải:

Hàm số \(y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\) xác đinh khi \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

Chọn C.

Câu 17 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào BBT xác định các điểm cực trị của hàm số là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu.

Cách giải:

Dựa bào BBT ta thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu khi qua 3 điểm \(x =  - 1;\,\,x = 0;\,\,x = 1\).

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Chọn A.

Câu 18 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào BXD để xác định tính đơn điệu của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm trên từng khoảng.

Cách giải:

Dựa vào BXD ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Chú ý khi giải: Không được kết luận hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Câu 19 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng định nghĩa của hàm số lũy thừa: Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha  \in \mathbb{R}\).

Cách giải:

Trong 4 đáp án chỉ có hàm số \(y = {x^{ - 2019}}\) là hàm số lũy thừa.

Chọn C.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng cách vẽ đồ thị các hàm trị tuyệt đối.

Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\):

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục \(Ox\) qua trục \(Ox\).

- Xóa đi phần đồ thị phía dưới trục \(Ox\).

Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\):

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Xóa đi phần đồ thị nằm bên trái trục \(Oy\).

- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục \(Oy\) qua trục \(Oy\).

Cách giải:

Đồ thị hàm số hình 2 có dạng là giữ phần trên trục hoành của hình 1 và lấy đối xứng của phần dưới trục hoành qua trục hoành nên đó là đồ thị của hàm số \(y = \left| {{x^3} + 3{x^2} - 2} \right|\).

Chọn B.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm \({x_0}\).

- Thay \({x_0}\) vào một trong hai hàm số để tìm \({y_0}\).

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} + x + 2 =  - 2x + 2 \Leftrightarrow {x^3} + 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Do đó hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là \({x_0} = 0\).

Thay \({x_0} = 0\) vào hàm số \(y =  - 2x + 2\) ta có \({y_0} =  - 2.0 + 2 = 2\).

Vậy \({y_0} = 2\).

Chọn D.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

Cho hàm số \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n}\).

- Khi \(n \in {\mathbb{Z}^ + }\), hàm số xác định khi \(f\left( x \right)\) xác định.

- Khi \(n \in {\mathbb{Z}^ - }\), hàm số xác định khi \(f\left( x \right)\) xác định và \(f\left( x \right) \ne 0\).

- Khi \(n \notin \mathbb{Z}\), hàm số xác định khi \(f\left( x \right)\) xác định và \(f\left( x \right) > 0\).

Cách giải:

Ta có hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) xác định khi \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Vẽ hình và đếm.

Cách giải:

Hình trụ tam giác có tất cả 9 cạnh.

Chọn A.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

- Hàm số \(y = {a^x}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) và có tập giá trị \(\left( {0; + \infty } \right)\).

- Hàm số \(y = {\log _a}x\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)\) có TXĐ \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) và tập giá trị \(D = \mathbb{R}\).

Cách giải:

Hàm số \(y = {a^x}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) và có tập giá trị \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên đáp án A, B sai.

Hàm số \(y = {\log _a}x\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)\) có TXĐ \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) và tập giá trị \(D = \mathbb{R}\) nên đáp án C sai, đáp án D đúng.

Chọn D.

Câu 25 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số để xác định GTLN, GTNN của hàm số.

Cách giải:

Trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) thì giá trị lớn nhất của hàm số là \(M = 3\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m =  - 2\)

Vậy \(M + m = 3 + \left( { - 2} \right) = 1.\)

Chọn C.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

Dựa vào BXD xác định:

- Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương.

- Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Cách giải:

Dựa vào BXD ta thấy: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và đạt cực đại tại \(x = 1\).

Do đó đáp án sai là đáp án C.

Chọn C.

Câu 27 (TH)

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có TCĐ khi và chỉ khi nghiệm của tử không trùng với nghiệm của mẫu.

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 4}}{{x + m - 1}}\) có tiệm cận đứng khi \(1 - m \ne 2 \Leftrightarrow m \ne  - 1\).

Chọn B.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị.

Cách giải:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị.

Chọn B.

Câu 29 (NB)

Phương pháp:

Thể tích của tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc là \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC\).

Cách giải:

Thể tích của tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc là: \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{{3a.2a.2a}}{6} = 2{a^3}\).

Chọn B.

Câu 30 (NB)

Phương pháp:

Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Cách giải:

Khối nón có bán kính đáy \(r = 2\) và đường cao \(h = 3\) có thể tích là:

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {2^2}.3 = 4\pi \).

Chọn C.

Câu 31 (TH)

Phương pháp:

Dựa vào tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\), từ đó suy ra GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Cách giải:

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 2019 < 0\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Mà \(a < b \Rightarrow f\left( a \right) > f\left( b \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).

Chọn D.

Câu 32 (TH)

Phương pháp:

So sánh hai lũy thừa:

+ Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Với \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Cách giải:

Với \(a > 1\) ta có: \( - \sqrt 3  >  - \sqrt 5  \Rightarrow {a^{ - \sqrt 3 }} > {a^{ - \sqrt 5 }}\).

Chọn A.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)\) xác định khi và chỉ khi \(f\left( x \right)\) xác định và \(f\left( x \right) > 0\).

Cách giải:

Hàm số \(y = {\log _3}\frac{{10 - x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) xác định khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10 - x}}{{{x^2} - 3x + 2}} > 0\\{x^2} - 3x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 10}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} < 0\\x \ne 1;\,\,x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\2 < x < 10\end{array} \right.\).

Vậy TXĐ của hàm số là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;10} \right)\).

Chọn B.

Câu 34 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(\left( {{a^u}} \right)' = u'.{a^u}.\ln a\).

Cách giải:

Ta có: \(y = {2^{2\ln x + 2{x^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \left( {\frac{2}{x} + 4x} \right){.2^{2\ln x + 2{x^2}}}.\ln 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{1}{x} + 2x} \right){.2^{2\ln x + 2{x^2}}}.2\ln 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{1}{x} + 2x} \right){.2^{2\left( {\ln x + {x^2}} \right)}}.\ln {2^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{1}{x} + 2x} \right){.4^{\ln x + {x^2}}}.ln4\end{array}\)

Chọn C.

Câu 35 (TH)

Phương pháp:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).

- Dựa vào dấu của hệ số \(a\) suy ra chiều của nhánh cuối cùng của đồ thị.

- Dựa vào dấu của hệ số \(d\) suy ra tính chất giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

- Loại dần đáp án và chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\) có hệ số \(a =  - 1 < 0\) nên đồ thị hàm số có nhánh cuối cùng đi xuống. Do đó loại đáp án B và D.

Hàm số có hệ số \(d =  - 1 < 0\) nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Do đó loại đáp án A.

Chọn C.

Câu 36 (VD)

Phương pháp:

- Vì tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) tại \(A,\,\,B,\,\,C\) song song với nhau, nên 3 tiếp tuyến này có hệ số góc bằng nhau. Gọi hệ số góc của các tiếp tuyến đi qua \(A,\,\,B\,,\,\,C\) là \(k\), từ đó suy ra \(k = f'\left( x \right)\).

- Biến đổi hàm số ban đầu theo \(k\), từ đó suy ra dạng của \(\left( P \right)\) theo \(k\).

- Parabol \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\) có hoành độ đỉnh là \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), từ đó giải phương trình tìm \(k\).

- Thay vào tìm hàm số của parabol \(\left( P \right)\), thay \({x_0} = \frac{1}{6}\) tìm \({y_0}\).

Cách giải:

Ta có \(y = {x^4} - 2{x^2} \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4x\).

Vì tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) tại \(A,\,\,B,\,\,C\) song song với nhau, nên 3 tiếp tuyến này có hệ số góc bằng nhau.

Gọi hệ số góc của các tiếp tuyến đi qua \(A,\,\,B\,,\,\,C\) là \(k\), khi đó hoành độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là nghiệm của phương trình \(k = 4{x^3} - 4x\).

Ta có \({x^4} - 2{x^2} = \frac{1}{4}x\left( {4{x^3} - 4x} \right) - {x^2} = \frac{1}{4}xk - {x^2}\).

Do 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + \frac{1}{4}kx\,\,\,\left( P \right)\).

Theo giả thiết thì \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right)\) nên \(\frac{{ - \frac{1}{4}k}}{{2\left( { - 1} \right)}} = \frac{1}{6} \Rightarrow k = \frac{4}{3}\).

Khi đó \(\left( P \right):y =  - {x^2} + \frac{1}{3}x\).

Do \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right) \in \left( P \right)\) nên thay \({x_0} = \frac{1}{6}\) vào hàm số ta có \({y_0} =  - {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{6} = \frac{1}{{36}}\).

Chọn C.

Câu 37 (VD)

Phương pháp:

Tìm đạo hàm của hàm số.

Tìm giá trị lớn nhất của hám số rồi suy ra b.

Cách giải:

Hàm số \(y = {x^3} - 3b{x^2} + b - 1\) có đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 6bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2b\end{array} \right.\)

Vì \(b > 0\,\,\left( {gt} \right)\) nên ta có BBT:

Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;b} \right]} y = y\left( 0 \right) = b - 1\).

Theo bài ra ta có \(b - 1 = 10 \Leftrightarrow b = 11\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(b = 11\).

Chọn A.

Câu 38 (VDC)

Phương pháp:

- Từ giả thiết và sử dụng hằng đẳng thức, biểu diễn \({x^2} + {y^2}\) và \({\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\) theo \(xy\).

- Đặt \(t = xy\), tìm tập giá trị của \(t\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( t \right)\), phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\) với \(\left[ {a;b} \right]\) là tập giá trị của \(t\).

- Khảo sát hàm số \(y = f\left( t \right)\), tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right);\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3{\left( {x + y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 6xy + 3{y^2} + 5{x^2} - 10xy + 5{y^2} = 4\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 4xy + 8{y^2} = 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - xy + 2{y^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{{1 + xy}}{2}\end{array}\)

Ta lại có: \({\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 4{x^2}{y^2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2}}}{4} - 4{\left( {xy} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{1 + 2xy + {{\left( {xy} \right)}^2}}}{4} - 4{\left( {xy} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - \frac{{15}}{4}{\left( {xy} \right)^2} + \frac{1}{2}xy + \frac{1}{4} \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  - \frac{1}{5} \le xy \le \frac{1}{3}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,m\left( {2xy + 1} \right) = 1010{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + 1010{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow m\left( {2xy + 1} \right) = 1010.\frac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2}}}{4} + 1010.\left[ { - \frac{{15}}{4}{{\left( {xy} \right)}^2} + \frac{1}{2}xy + \frac{1}{4}} \right]\end{array}\)

Đặt \(t = xy\,\,\left( { - \frac{1}{5} \le t \le \frac{1}{3}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}m\left( {2t + 1} \right) = \frac{{1010}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} + 1010\left[ { - \frac{{15}}{4}{t^2} + \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}} \right]\\ \Leftrightarrow m\left( {2t + 1} \right) = \frac{{1010}}{4}\left( {1 + 2t + {t^2} - 15{t^2} + 2t + 1} \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {2t + 1} \right) = \frac{{505}}{2}\left( { - 14{t^2} + 4t + 2} \right)\\ \Leftrightarrow m = \frac{{505\left( { - 7{t^2} + 2t + 1} \right)}}{{2t + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{m}{{505}} = \frac{{ - 7{t^2} + 2t + 1}}{{2t + 1}} = f\left( t \right)\,\,\,\left( * \right)\,\,\left( {t \in \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{ - 7{t^2} + 2t + 1}}{{2t + 1}}\) với \(t \in \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{2}} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \frac{{\left( { - 14t + 2} \right)\left( {2t + 1} \right) - \left( { - 7{t^2} + 2t + 1} \right).2}}{{{{\left( {2t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \frac{{ - 14{t^2} - 14t}}{{{{\left( {2t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]\\t =  - 1 \notin \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1;\,\,f\left( { - \frac{1}{5}} \right) = \frac{8}{{15}};\,\,f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{8}{{15}}\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]} f\left( t \right) = \frac{8}{{15}};\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]} f\left( t \right) = 1\)

Do đó phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{8}{{15}} \le \frac{m}{{505}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{{808}}{3} \le m \le 505\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {270;271;...;505} \right\}\).

Chọn B. 

Câu 39 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm logarit: \(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}\).

- Tính giá trị tổng quát \(f'\left( k \right)\), sau đó rút gọn.

Cách giải:

Ta có \(f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) = \ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{x}}} =  - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{x}\).

\( \Rightarrow f'\left( k \right) = \frac{1}{{k + 1}} - \frac{1}{k}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2019} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{2} - \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2019}}\\ \Rightarrow S = \frac{1}{{2020}} - 1 =  - \frac{{2019}}{{2020}}\end{array}\)

Chọn D.

Câu 40 (VD)

Phương pháp:

- Tìm đạo hàm của hàm số.

- Giải phương trình \(y' = 0\) tìm cực trị của hàm số theo ẩn \(m\).

- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị, giải các bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 < {x_{CT}} < 3\\ - 2 < {x_{CD}} < 3\end{array} \right.\).

Cách giải:

Ta có \(y = 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 6{x^2} + 6\left( {m - 1} \right)x + 6\left( {m - 2} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2 - m\end{array} \right.\end{array}\)

Để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu thì \(2 - m \ne  - 1 \Leftrightarrow m \ne 3\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị \(x =  - 1;\,\,x = 2 - m\) \(\left( {m \ne 3} \right)\).

Để các điểm cực đại và cực tiểu đều nằm trong khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2 <  - 1 < 3\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\ - 2 < 2 - m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m < 4\)

Kết hợp điều kiện ta có \(m \in \left( { - 1;3} \right) \cup \left( {3;4} \right)\).

Chọn B.

Chú ý khi giải: HS thường quên mất việc phải tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị và chọn nhầm đáp án A.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\) có nghiệm.

- Từ một phương trình ta tìm \(m\) theo \(x\), thế vào phương trình còn lại, giải phương trình tìm \(x\).

- Nghiệm của hệ (*) chính là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số.

Cách giải:

Ta có \(f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6mx + 3m\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3}\) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương rình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3} = 0\\3{x^2} - 6mx + 3m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3} = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 2mx + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình (2) có nghiệm khi khi và chỉ khi \(\Delta ' = {m^2} - m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} = m\left( {2x - 1} \right)\)

TH1: \(x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

TH2: \(x \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}\). Thay vào (1) ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 3\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}.{x^2} + 3.\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}.x + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}} \right)^2} - 2{\left( {\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}} \right)^3} = 0\\ \Leftrightarrow {x^3}{\left( {2x - 1} \right)^3} - 3{x^4}{\left( {2x - 1} \right)^2} + 3{x^3}{\left( {2x - 1} \right)^2} + {x^4}\left( {2x - 1} \right) - 2{x^6} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {2x - 1} \right)^3} - 3x{\left( {2x - 1} \right)^2} + 3{\left( {2x - 1} \right)^2} + x\left( {2x - 1} \right) - 2{x^3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 3\left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 2{x^2} - x - 2{x^3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 3\left( {4{x^3} - 4{x^2} + x - 4{x^2} + 4x - 1} \right) + 2{x^2} - x - 2{x^3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ - 6{x^3} + 14{x^2} - 10x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{1}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow S = \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng 1.

Chọn D.

Câu 42 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\), từ đó tính \(h\).

- Góc ở đỉnh của hình nón là \(2\alpha \) thì \(\tan \alpha  = \frac{r}{h}\).

Cách giải:

Ta có \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h \Rightarrow 9\pi \sqrt 3  = \frac{1}{3}\pi {.3^2}h \Rightarrow h = 3\sqrt 3 \).

Gọi góc ở đỉnh của hình nón là \(2\alpha \) ta có: \(\tan \alpha  = \frac{r}{h} = \frac{3}{{3\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow \alpha  = {30^0}\).

Vậy góc ở đỉnh của hình nón là \(2\alpha  = {60^0}\).

Chọn A.

Câu 43 (VDC)

Phương pháp:

- Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\), hàm số trở thành: \(y = f\left( t \right)\).

- Theo bài ra ta có \(\max y \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow \exists t:\,\,f\left( t \right) \ge \frac{1}{3}\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \ge g\left( t \right)\,\,\,\left( * \right)\).

- Khảo sát hàm số \(g\left( t \right)\), tìm điều kiện để bất phương trình (*) có nghiệm.

Cách giải:

Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\), hàm số trở thành: \(y = \frac{{{4^t} + m{{.6}^t}}}{{{9^t} + {4^{1 + t}}}}\).

Theo bài ra ta có \(\max y \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow \exists t:\,\,\frac{{{4^t} + m{{.6}^t}}}{{{9^t} + {4^{1 + t}}}} \ge \frac{1}{3}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4^t} + m{.6^t} \ge \frac{{{9^t} + {4^{1 + t}}}}{3}\\ \Leftrightarrow m{.6^t} \ge \frac{{{9^t} + {{4.4}^t}}}{3} - {4^t} = \frac{{{9^t} + {4^t}}}{3}\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{{9^t} + {4^t}}}{{{{3.6}^t}}} = g\left( t \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{{9^t} + {4^t}}}{{{{3.6}^t}}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{\left( {{9^t}\ln 9 + {4^t}\ln 4} \right){{.6}^t} - \left( {{9^t} + {4^t}} \right){{.6}^t}\ln 6}}{{{6^{2t}}}}\\g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{{9^t}\ln 9 + {4^t}\ln 4 - \left( {{9^t} + {4^t}} \right).\ln 6}}{{{6^t}}}\\g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{{{2.9}^t}\ln 3 + {{2.4}^t}\ln 2 - \left( {{9^t} + {4^t}} \right).\ln 2 - \left( {{9^t} + {4^t}} \right).\ln 3}}{{{6^t}}}\\g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{\left( {{9^t} - {4^t}} \right)\ln 3 - \left( {{9^t} - {4^t}} \right)\ln 2}}{{{6^t}}}\\g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{\left( {{9^t} - {4^t}} \right)\left( {\ln 3 - \ln 2} \right)}}{{{6^t}}}\\g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {9^t} = {4^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{4}} \right)^t} = 1 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)   

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy (*) có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge \frac{2}{3}\).

Chọn B.

Câu 44 (VD)

Phương pháp:

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m > g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3; - 1} \right]} g\left( x \right)\).

- Tính \(g'\left( x \right)\), dựa vào BBT chứng minh \(g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right)\), tìm đó suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3; - 1} \right]} g\left( x \right)\).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) < \sqrt {{x^2} + e}  + m\,\,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow m > f\left( x \right) - \sqrt {{x^2} + e}  = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3; - 1} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + e} }}\).

Dựa vào BBT ta có: Trên đoạn \(\left( { - 3; - 1} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\\ - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + e} }} > 0\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\).

Do đó hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 3; - 1} \right)\) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3; - 1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - \sqrt {e + 1} \).

Vậy \(m \ge f\left( { - 1} \right) - \sqrt {1 + e} \).

Chọn A.

Câu 45 (VDC)

Phương pháp:

- Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2019x + 2020\).

- Đặt \(1 - x = t\), biểu diễn \(y'\) theo \(t\).

- Giải bất phương trình \(y' < 0\) và suy ra các khoảng nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Ta có \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2019x + 2020 \Rightarrow y' =  - f'\left( {1 - x} \right) + 2019\)

Đặt \(1 - x = t \Rightarrow y' =  - f'\left( t \right) + 2019 =  - \left( {4 - {t^2}} \right)g\left( t \right)\).

Ta có \(y' < 0 \Leftrightarrow \left( {{t^2} - 4} \right)g\left( t \right) < 0\).

Lại có \(g\left( t \right) < 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\,\,\left( {gt} \right)\) nên \({t^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 2\\t <  - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x > 2\\1 - x <  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\x > 3\end{array} \right.\).

Vậy hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2019x + 2020\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\,\,\left( {3; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ \(x + y - 1 = t\).

- Xét hàm số \(g\left( t \right) = VT\), lập BBT của hàm số \(g\left( t \right)\), từ đó tìm \(t\). Từ đó suy ra \(x + y\).

- Từ giả thiết \(f\left( x \right) + f\left( y \right) = 1\), quy đồng, từ đó tìm \(m\).

Cách giải:

Ta có \({e^{x + y - 1}} = e\left( {x + y - 1} \right) \Leftrightarrow {e^{x + y - 1}} - e\left( {x + y - 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(x + y - 1 = t\). Đặt \(g\left( t \right) = {e^t} - et \Rightarrow g'\left( t \right) = {e^t} - e = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \({e^t} - et \ge 0\) dấu bằng xảy ra khi \(t = 1 \Rightarrow x + y = 2\).

Mặt khác theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) + f\left( y \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{2019}^x}}}{{{{2019}^x} + m}} + \frac{{{{2019}^y}}}{{{{2019}^y} + m}} = 1\\ \Leftrightarrow {2019^{x + y}} + m{2019^x} + {2019^{x + y}} + m{2019^y} = {2019^{x + y}} + m\left( {{{2019}^x} + {{2019}^y}} \right) + {m^2}\\ \Leftrightarrow {2019^{x + y}} = {m^2} \Leftrightarrow {2019^2} = {m^2} \Leftrightarrow m =  \pm 2019.\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Câu 47 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể  tích.

Cách giải:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot AB\) (do \(\Delta SAB\) đều).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right);\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AB = a\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn C.

Câu 48 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất vuông góc và định lí Pytago.

Cách giải:

Hình hộp chữ nhật có các kích thước là a,b,c

Độ dài các đường chéo các mặt trong một hình hộp chữ nhật bằng \(\sqrt 5 ,\sqrt {10} ,\sqrt {13} \)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 5\\{b^2} + {c^2} = 10\\{c^2} + {a^2} = 13\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 3\end{array} \right. \Leftarrow V = 6\)

Chọn A.

Câu 49 (VDC)

Phương pháp:

- Gọi số đo của hình hộp chữ nhật là \(a,\,\,b,\,\,c\). Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) và thể tích khối hộp chữ nhật là \(V = abc\).

- Sử dụng hằng đẳng thức biểu diễn \(a + c\) theo \(b\).

- Tính thể tích theo biến \(b\), sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.

Cách giải:

Gọi số đo của hình hộp chữ nhật là \(a,\,\,b,\,\,c\).

Khi đó ta có \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\) và độ dài đường chéo bằng 6 nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 36\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 36\\ab + bc + ca = 18\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 72\\ab + bc + ca = 18\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 6\sqrt 2 \\b\left( {a + c} \right) + ac = 18\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}V = abc = b\left[ {18 - b\left( {a + c} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = b\left[ {18 - b\left( {6\sqrt 2  - b} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = b\left[ {18 - 6\sqrt 2 b + {b^2}} \right]\\\,\,\,\,\, = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b = f\left( b \right)\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\sqrt 2  - b\\b\left( {6\sqrt 2  - b} \right) + ac = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\sqrt 2  - b\\ac = 18 + {b^2} - 6\sqrt 2 b\end{array} \right.\)

Để tồn tại \(a,\,\,c\) thì

\(\begin{array}{l}{S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 2  - b} \right)^2} \ge 4\left( {18 + {b^2} - 6\sqrt 2 b} \right)\\ \Leftrightarrow {b^2} - 12\sqrt 2 b + 72 \ge 72 + 4{b^2} - 24\sqrt 2 b\\ \Leftrightarrow 3{b^2} - 12\sqrt 2 b \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le b \le 4\sqrt 2 \end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( b \right) = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b\,\,\left( {0 < b \le 4\sqrt 2 } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( b \right) = 3{b^2} - 12\sqrt 2 b + 18 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\sqrt 2 \\b = \sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\\f\left( {3\sqrt 2 } \right) = 0;\,\,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 8\sqrt 2 \end{array}\)

Ta có BBT:

Từ BBT \( \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left[ {0;4\sqrt 2 } \right]} f\left( b \right) = 8\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{\max }} = 8\sqrt 2  \Leftrightarrow b = \sqrt 2 \).

Chọn A.

Câu 50 (VD)

Phương pháp:

- Dựa vào giả thiết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy tính chiều cao của mặt bên.

- Áp dụng định lí Pytago tính chiều khối chóp.

- Khối chóp có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) có thể tích \(V = \frac{1}{3}Bh.\)

Cách giải:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Vì \(\Delta SCD\) cân tại \(S\) nên \(SE \bot CD\).

Ta có \({S_{\Delta SCD}} = \frac{1}{2}SE.CD\).

Theo bài ra ta có: \({S_{xq}} = 2{d_{ABCD}} \Leftrightarrow 4{S_{\Delta SCD}} = 2SE.a = 2{a^2} \Rightarrow SE = a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOE\) ta có: \(SO = \sqrt {S{E^2} - H{E^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn B.