Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 - đề số 3 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4{\rm{x}} - 2y + 2{\rm{z}} - 19 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2y - y - 2{\rm{z}} + m + 3 = 0\) với m là tham số. Gọi T là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt  cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \). Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng

A. 4     B. 24   C. -20 D. -16

Câu 2. Đường thẳng \({\rm{x}} = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào dưới đây?

A. \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)        B. \(y = \sqrt {{x^2} - 1} \)

C. \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\)         D. \(\frac{1}{{{x^2} - 1}}\)

Câu 3. Hàm số \(y = {3^{{x^2} + 2}}\) có đạo hàm là

A. \(y' = \frac{{{3^{{x^2} + 2}}}}{{\ln 3}}\)     

B. \(y' = \frac{{2{\rm{x}}{{.3}^{{x^2} + 2}}}}{{\ln 3}}\)

C. \(y' = 2{\rm{x}}{.3^{{x^2} + 2}}.\ln 3\)        

D. \(2{\rm{x}}{.3^{{x^2} + 2}}\)

Câu 4. Một lớp học có 38 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên hai bạn học sinh trong lớp?

A. 406            B. 703

C. 360            D. 38

Câu 5. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \frac{{x + 1}}{{x + 4}}\). Tính giá trị biểu thức \(P = f'\left( 0 \right) + f'\left( 3 \right) + f'\left( 6 \right) + ... + f'\left( {2019} \right)\).

A. \(\frac{1}{4}\)                  B. \(\frac{{2024}}{{2023}}\)    

C. \(\frac{{2022}}{{2023}}\)           C. \(\frac{{2020}}{{2023}}\)

Câu 6. Đồ thị trong hình bên là của hàm số  \(y = f\left( x \right)\)

S là diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

A. \({\rm{S}} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \)

B. \({\rm{S}} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} \)

C. \({\rm{S}} = \int\limits_0^{ - 2} {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \)

D. \({\rm{S}} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \)

Câu 7. Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) >  - 3\) là

A. 6     B. 7     C. 8     D. 9

Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng \(\left( { - 2019;2020} \right)\) để hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right) + 2019\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)?

A. 2021          B. 2020

C. 2018          D. 2019

Câu 9. Trong không gian \({\rm{Oxyz}}\), cho điểm \(A\left( {2; - 1; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3{\rm{x}} - 2y + 4{\rm{z}} - 5 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua A và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là

A. \(\left( Q \right):3{\rm{x}} - 2y + 4z - 4 = 0\)

B. \(\left( Q \right):3{\rm{x}} - 2y + 4z + 4 = 0\)

C. \(\left( Q \right):3{\rm{x}} - 2y + 4z + 5 = 0\)

D. \(\left( Q \right):3{\rm{x + }}2y + 4z + 8 = 0\)

Câu 10. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \(BC = 3BM,BD = \frac{3}{2}BN,\) \(AC = 2AP\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là \({V_1},{V_2}\), trong đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là \({V_2}\). Tính tie số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{26}}{{19}}\)  B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{26}}{{13}}\)

C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{15}}{{19}}\)  D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{{19}}\)

Câu 11. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a

A. \({\rm{S}} = \frac{{7\pi {a^2}}}{3}\)    B. \({\rm{S}} = \frac{{\pi {a^3}}}{8}\)

C. \({\rm{S}} = \pi {a^2}\)   D. \({\rm{S}} = \frac{{7\pi {a^2}}}{9}\)

Câu 12. Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 6     B. 7     C. 8     D. 9

Câu 13. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0\) là

A. 3     B. 1     C. 2     D. 0

Câu 14. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết \(f\left( 0 \right) = 1\). \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;3} \right]\) và \(\int\limits_0^3 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}}  = 9\). Tính \(f\left( 3 \right)\).

A. 9     B. 10   C. 8     D. 7

Câu 15. Cho hàm số \(y = {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = 4{\rm{x}} + 8\). Đường thẳng \({\rm{d}}\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({{\rm{x}}_1},{x_2},{x_3}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3\).

A. \(\max P = 16\sqrt 2  - 8\)

B. \(\max P =  - 8\)

C. \(\max P =  - 16\sqrt 2  - 8\)

D. \(\max P = 8\)

Câu 16. Cho hai số thực x, y thỏa mãn : \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2{\rm{x}} - y\)

A. 4     B. -4   C. \(2\sqrt 3 \) D. \(\frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)

Câu 17. Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho ba điểm \(A\left( {0;1; - 2} \right)\), \(B\left( {3;1;1} \right)\), \(C\left( { - 2;0;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(N\left( {2;1;0} \right)\)    B. \(Q\left( { - 2;1;0} \right)\)

C. \(M\left( {2; - 1;0} \right)\)           D. \(P\left( { - 2; - 1;0} \right)\)

Câu 18. Biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\). Qua điểm \(I\left( {2;2} \right)\). Tính \(f\left( {4 - {a^{2018}}} \right)\).

A. -2020         B. 2014

C. -2014         D. 2020

Câu 19. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{{\rm{x}}^2} + 3x + 1\) có đồ thị (C). có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 3{\rm{x}} + 1\)?

A. 3     B. 1     C. 0     D. 2

Câu 20. Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + y^2 + {z^2} - 2{\rm{x}} + 2y - 4{\rm{z}} - 3 = 0\). Bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng

A. \({\rm{R}} = 3\)    B. \({\rm{R}} = 2\)

C. \({\rm{R}} = 6\)    D. \({\rm{R}} = 9\)

Câu 21. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = 2 - 3n\). Công sai d của cấp số cộng là

A. \({\rm{d}} = 3\)    B. \({\rm{d}} = 2\)

C. \({\rm{d}} =  - 3\) D. \(d =  - 2\)

Câu 22. Tính chiều cao của khối lăng trụ tam giác đều biết thể tích bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\), cạnh đáy bằng a.

A. \(3{\rm{a}}\)         B. \(2{\rm{a}}\)        C. \(a\)        D. \(6{\rm{a}}\)

Câu 23. Một khối nón có thể tích bằng \(9{{\rm{a}}^3}\pi \sqrt 2 \).  Tính bán kính R đáy khối nón khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

A. \({\rm{R}} = 3{\rm{a}}\)           B. \({\rm{R}} = \frac{{3{\rm{a}}}}{{\sqrt[6]{2}}}\)

C. \({\rm{R}} = \sqrt[3]{9}{\rm{a}}\)        D. \({\rm{R}} = \frac{{3{\rm{a}}}}{{\sqrt[3]{2}}}\)

Câu 24. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x - 1 + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Tìm m?

A. \(m = 5\)    B. \(m = 4\)

C. \(m = 2\)    D. \(m = 3\)

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC=a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)  B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)  D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Câu 26. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)  thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right) = 0\) và đồ thị hàm số \(f = f'\left( x \right)\) có dạng như hình dưới.

Hàm số \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) đạt cực đại tại điểm nào?

A. \({\rm{x}} = 2\)    B. \({\rm{x}} =  - 2\)

C. \({\rm{x}} = 1\)                D. \({\rm{x}} = 0\)

Câu 27. Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 1; - 3} \right)\), \(B\left( { - 2;2;1} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là

A. \(\left( { - 3;3;4} \right)\)   B. \(\left( { - 1;1;2} \right)\)

C. \(\left( {3; - 3;4} \right)\)   D. \(\left( { - 3;1;4} \right)\)

Câu 28. Cho khối chóp S.ABC, mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S có BC=2a, cạnh \({\rm{S}}A = a\sqrt 2 \) và tạo với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) một góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)         B. \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)         D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Câu 29. Tập nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 3{\rm{x}}}} = \frac{1}{4}\) là

A. \({\rm{S}} = \emptyset \)  B. \({\rm{S}} = \left\{ {1;2} \right\}\)

C. \(S = \left\{ 0 \right\}\)      D. \({\rm{S}} = \left\{ 1 \right\}\)

Câu 30. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

Giá trị cực đại của hàm số bằng

A. -2   B. 0     C. -1   D. 1

Câu 31. Cho hình nón có độ dài đường sinh \(l = 4{\rm{a}}\), bán kính đáy \({\rm{R}} = a\sqrt 3 \). Diện tích xung quanh hình nón bằng

A. \(8\sqrt 3 \pi {a^2}\)          B. \(\frac{{4\sqrt 3 \pi {a^2}}}{3}\)

C. \(4\sqrt 3 \pi {a^2}\)          D. \(2\sqrt 3 \pi {a^2}\)

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + 3 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) có tọa độ là

A. \(\left( {2;1;0} \right)\)      B. \(\left( {2; - 1;3} \right)\)

C. \(\left( {2; - 1;0} \right)\)   D. \(\left( {2;1;3} \right)\)

Câu 33. Cho hình trụ có trục \(OO'\), chiều cao bằng a. Trên hai đường tròn đáy \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng \(\frac{a}{2}\). Góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng \(60^\circ \). Tính thể tích của khối trụ đã cho.

A. \(\frac{{2\pi {a^3}}}{3}\)            B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{3}\)

C. \(2\pi {a^3}\)                    D. \(\pi {a^3}\)

Câu 34. Cho hình hộp \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\) có đáy \(ABC{\rm{D}}\) là hình chữ nhật với \(AB = a,A{\rm{D}} = {\rm{a}}\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \(\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng \(\left( {A'B{\rm{D}}} \right)\).

A. \(\frac{a}{2}\)                   B. \(a\sqrt 3 \)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)                  D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Câu 35. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({{\rm{x}}_0} \in \left( {a;b} \right)\). Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực đại tại \({{\rm{x}}_0}\) thì \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0\).

B. \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(y''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì \({{\rm{x}}_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số.

C. \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(y''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \({{\rm{x}}_0}\) không là điểm cực trị của hàm số.

D. \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(y''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) thì \({{\rm{x}}_0}\) là điểm cực trị của hàm số.

Câu 36. Tìm hệ số của số hạng chứa \({{\rm{x}}^{26}}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{{\rm{x}}^7}} \right)^n}\) biết rằng: \(C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} = {2^{20}} - 1\) (n nguyên dương).

A. 13440        B. -13440

C. 210            D. -120

Câu 37. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right)f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\). Biết \(f\left( 0 \right) = 1,f\left( 2 \right) = {e^6}\), tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) bằng

A. \(1 + e\)                 B. \(1 - {e^2}\)

C. \(1 - e\)                  D. \(1 - {e^{ - 1}}\)

Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và \({\rm{SA}} \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\). Biết \({\rm{S}}A = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính góc giữa SC và mặt phẳng \(\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\).

A. \(30^\circ \)            B. \(60^\circ \) C. \(75^\circ \)       D. \(45^\circ \)

Câu 39. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm \(A\left( {1; - 1;3} \right),B\left( {2;1;0} \right),C\left( { - 3; - 1; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 4 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức \(T = \left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \({\rm{S}} = a + b + c\).

A. \({\rm{S}} = 3\)    B. \(S =  - 1\)

C. \({\rm{S}} = 2\)    D. \({\rm{S}} = 1\)

Câu 40. Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6{\rm{x}}} \right) + 15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2{\rm{x}}} \right) = 16\) trên đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) bằng

A. \(\frac{{1282\pi }}{8}\)    B. \(\frac{{1285\pi }}{8}\)

C. \(\frac{{1283\pi }}{8}\)    D. \(\frac{{1284\pi }}{8}\)

Câu 41. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^\pi }\).

A. \({\rm{D}} = \mathbb{R}\)         B. \({\rm{D}} = \left[ { - 1; + \infty } \right)\)

C. \({\rm{D}} = \left( { - 1; + \infty } \right)\)       D. \({\rm{D}} = \left( {0; + \infty } \right)\)

Câu 42. Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}} + \cos {\rm{x}}\). Tìm khẳng định đúng.

A. \(F\left( x \right) = {e^{ - x}} + \sin x + 2019\)

B. \(F\left( x \right) = {e^{ - x}} + \cos x + 2019\)

C. \(F\left( x \right) =  - {e^{ - x}} + \sin x + 2019\)

D. \(F\left( x \right) =  - {e^{ - x}} - \cos x + 2019\)

Câu 43. Cho hình hộp chữ nhật \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\)  có đáy \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông cạnh a và \({\rm{AA' = 2a}}\). Thể tích khối tứ diện \(B{\rm{D}}B'C\).

A. \(\frac{{{a^3}}}{6}\)        B. \(\frac{{{a^3}}}{4}\)    C. \(\frac{{{a^3}}}{2}\) D. \(\frac{{{a^3}}}{3}\)

Câu 44. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{\rm{x}}^2} - x + 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {x - m}  - m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt là \(\left[ {a;b} \right)\). Tính \(a + b\).

A. 0   B. \(\frac{1}{4}\)  C. -2  D. \(\frac{{ - 1}}{4}\)

Câu 45. Nếu \(f\left( x \right) = \left( {a{x^2} + b{\rm{x}} + c} \right)\sqrt {2{\rm{x}} - 1} \) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{10{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} + 2}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) thì \(a + b + c\) có giá trị bằng

A. \(3\)        B. 0   C. 2   D. 4

Câu 46. Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên \(\left[ {1;3} \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx}  = 10\), \(\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}}  = 6\). Tích phân \(I = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng

A. \(I = 6\)   B. \(I = 7\)

C. \(I = 8\)   D. \(I = 9\)

Câu 47. Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là \(2{\rm{d}}m\) và \(4{\rm{d}}m\). Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \). Tính thể tích của bình cắm hoa đó.

A. \(8\pi \) \(d{m^2}\)    B. \(\frac{{15\pi }}{2}\) \({\rm{d}}{m^2}\)

C. \(\frac{{14\pi }}{3}\) \({\rm{d}}{m^3}\)         D. \(\frac{{15\pi }}{2}\) \({\rm{d}}{m^3}\)

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {4; - 1;3} \right),B\left( {0;1; - 5} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 21\)

B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 17\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 27\)

D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 21\)

Câu 49. Đặt \({\log _2}3 = a,{\log _3}5 = b\). Khi đó \({\log _6}15\) bằng

A. \(\frac{{a\left( {b + 1} \right)}}{{a + 1}}\)       B. \(ab\)

C. \(\frac{{a + b}}{{a + 1}}\)      D. \(\frac{{{a^2} + b}}{{a\left( {a + 1} \right)}}\)

Câu 50. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 3.

A. \(V = 216\pi \)   B. \(V = 108\pi \)

C. \(V = 72\pi \)    D. \(V = 36\pi \) 

Lời giải chi tiết

Câu 1(TH) – Hệ tọa độ trong không gian.

Phương pháp:

Tìm tâm I  và bán kính mặt cầu (S).

Tìm khoảng cách từ I xuống mặt phẳng (P).

Áp dụng định lý Pytago để tìm m.

Cách giải:

Mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0\) có tâm \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 5\)

Ta có mặt phẳng (P): \(2x - y - 2z + m + 3 = 0\)

\( \Rightarrow {d_{I;\left( P \right)}} = \frac{{\left| {2.2 - 1 - 2\left( { - 1} \right) + m + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {m + 8} \right|}}{3}\)

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \).

\( \Rightarrow 2\pi r = 6\pi  \Rightarrow r = 3\)

Ta có \({R^2} = d_{I;\left( P \right)}^2 + {r^2} \Rightarrow {5^2} = \frac{{{{\left( {m + 8} \right)}^2}}}{9} + {3^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{{\left( {m + 8} \right)}^2}}}{9} = {4^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{m + 8}}{9} = 4\\\frac{{m + 8}}{9} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 28\\m =  - 44\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow T =  - 16\)

Chọn D.

Câu 2(NB) – Đường tiệm cận.

Phương pháp:

Tìm giới hạn của các hàm số.

Cách giải:

Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{{x^2} - 1}} =  + \infty  \Rightarrow x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} - 1}}\)

Chọn D.

Câu 3(NB) – Đạo hàm của hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ.

Cách giải:

Ta có \(y = {3^{{x^2} + 2}}\)

\( \Rightarrow y' = \left( {{x^2} + 2} \right)'{.3^{{x^2} + 2}}.\ln 3 = 2x{.3^{{x^2} + 2}}.\ln 3\)

Chọn C.

Câu 4(NB) – Xác suất, chỉnh hợp, tổ hợp.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tổ hợp.

Cách giải:

Chọn 2 bạn trong 38 học sinh thì có \(C_{38}^2 = 703\)

Chọn B.

Câu 5(TH) – Đạo hàm của hàm số.

Phương pháp:

Tìm đạo hàm của hàm số.

Cách giải:

Ta có \(f(x)= \ln \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}}\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x + 4}}} \right)}'}}}{{\dfrac{{x + 1}}{{x + 4}}}} = \dfrac{\dfrac{3}{{{{\left( x + 4 \right)}^2}}}}{\dfrac{x + 1}{x + 4}}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 4} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 4}}\)

Khi đó \(P = f'\left( 0 \right) + f'\left( 3 \right) + f'\left( 6 \right) + ... + f'\left( {2019} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + ... + \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2023}}\\ \Leftrightarrow P = 1 - \dfrac{1}{{2023}} = \dfrac{{2022}}{{2023}}\end{array}\)

Chọn C.

Câu 6(TH) - Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.

Cách giải:

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|}  = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)}  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \)

Chọn D.

Câu 7(NB) – Bất phương trình logarit.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất của hàm logarit.

Cách giải:

Ta có \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) >  - 3\) ĐKXĐ: \(\left( {x > 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - {\log _2}\left( {x - 1} \right) >  - 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3\\ \Leftrightarrow x - 1 < {2^3}\\ \Leftrightarrow x < 9\end{array}\)

Khi đó \(1 < x < 9;x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) có 7 giá trị thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 8(VD) – Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Phương pháp:

Tìm đạo hàm của hàm số. Tìm nghiệm phương trình \(y' = 0\).

Cách giải:

Ta có hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 2019\) có:

\(\begin{array}{l}y' = 6{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 6m\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 1\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi \(m + 1 \ge 2 \Rightarrow 1 \le m < 2020 \Rightarrow \) có 2019 giá trị nguyên của m  thỏa mãn bài toán.

Chọn D.

Câu 9(TH) – Phương trình mặt phảng.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của hai mặt phẳng song song.

Cách giải:

Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P): \(3x - 2y + 4z - 5 = 0\)

Nên mặt phẳng (Q) có dạng \(3x - 2y + 4z + a = 0\), đí qua \(A\left( {2; - 1; - 3} \right)\)

Nên \(a = 4\)

Mặt phăng(Q) có dạng \(3x - 2y + 4z + 4 = 0\)

Chọn B.

Câu 10(VD) – Tỉ số thể tích.

Phương pháp:

Chia khối đa diện \({V_{ABMNQ}} = {V_{ABMN}} + {V_{AMNP}} + {V_{ANPQ}}\)

Áp dụng định lý Menelaus.

Áp dụng tính chất về tỉ số thể tích.

Cách giải:

Trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(E = MN \cap CD\)

Trong \(\left( {ACD} \right)\) gọi \(Q = AD \cap PE\)

Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(9MNP\) là tứ giác MNQP.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD có:

\(\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{EC}}{{ED}}.\frac{{ND}}{{NB}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{{EC}}{{ED}}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{EC}}{{ED}} = 4\)

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ACD có:

\(\frac{{PA}}{{PC}}.\frac{{EC}}{{ED}}.\frac{{QD}}{{QA}} = 1 \Rightarrow 1.4.\frac{{QD}}{{QA}} = 1 \Rightarrow \frac{{QD}}{{QA}} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{{S_{NMC}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{{d\left( {N;BC} \right).MC}}{{d\left( {D;BC} \right).BC}} = \frac{{NB}}{{DB}}.\frac{{MC}}{{BC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{{{V_{AMNC}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{4}{9}\)

Nên \({V_{AMNP}} = \frac{2}{9}{V_{ACDN}}\)

\( + )\frac{{{V_{APQN}}}}{{{V_{ACDN}}}} = \frac{{AP}}{{AC}}.\frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{1}{2}.\frac{4}{5} = \frac{2}{5} \Rightarrow {V_{APQN}} = \frac{2}{5}{V_{ACDN}}\)

\(\frac{{{S_{CND}}}}{{{S_{CBD}}}} = \frac{{DN}}{{DB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{V_{ACDN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{APQN}} = \frac{2}{{15}}{V_{ABCD}}\)

\( \Rightarrow {V_{ABMNQ}} = {V_{ABMN}} + {V_{AMNP}} + {V_{ANPQ}} = \frac{2}{9}{V_{ABCD}} + \frac{2}{9}{V_{ABCD}} + \frac{2}{{15}}{V_{ABCD}} = \frac{{26}}{{45}}{V_{ABCD}}\)

Gọi \({V_1} = {V_{ABMNQ}},{V_2}\) là thể tích phần còn lại \( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{26}}{{19}}\)

Chọn A.

Câu 11(TH) – Mặt cầu.

Phương pháp:

Tìm tâm của mặt cầu.

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu.

Cách giải:  

Gọi hình lăng trụ tam giác đều đó là \(ABC.A'B'C'\)

Gọi O là tâm tam giác ABC; O’ là tâm tam giác \(A'B'C'\)

Gọi I là trung điểm của OO’

Khi đó \(OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\); \(OI = \frac{a}{2}\)

Khi đó bán kính mặt cầu ngoai tiếp hình lăng trụ là \(R = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

Nên diện tích mặt cầu đó là \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{7\pi {a^2}}}{3}\)

Chọn A.

Câu 12(NB) – Khối đa diện.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất của hình lập phương để chỉ ra mặt phẳng đối xứng.

Cách giải:

Hình lập phương là hình có 12 cạnh bằng nhau nên có

3 mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm 4 cạnh song song với nhau chia hình lập phương thành 2 khối hộp chữ nhật.

6 mặt còn lại chia khối lập phương thành 2 khối lăng trụ tam giác bằng nhau.

Vậy tổng có 9 mặt phẳng đối xứng.

Chọn D.

Câu 13(TH) – Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình.

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Ta có \(2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2}\)

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy 2 đồ thị trên giao nhau tại 3 điểm phân biệt

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Câu 14(TH) – Nguyên hàm, tích phân.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của nguyên hàm, tích phân.

Cách giải:

Ta có \(\int\limits_0^3 {f'\left( x \right)dx = 9}  \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_0^3 = 9\)

\( \Rightarrow f\left( 3 \right) - f\left( 0 \right) = 9\) mà \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 10\)

Chọn B.

Câu 15(VD) – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Phương pháp:

Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Tìm nghiệm của phương trình và tìm quan hệ của các nghiệm.

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2}\) và đường thẳng \(y = 4x + 8\)là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}{x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2} = 4x + 8\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m - 2} \right)x + 4{m^2} - 8 = 0\end{array}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 4 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\]

Từ (1)  có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2{m^2} - 4\end{array} \right.\]

Khi đó

\[\begin{array}{l}P = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = \left( {{x_1} + {x_1}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] - 8\\ \Rightarrow P =  - 4{m^3} + 24m - 8 = f\left( m \right)\end{array}\]

\[\begin{array}{l}f'\left( m \right) =  - 12{m^2} + 24 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \\f\left( {\sqrt 2 } \right) = 16\sqrt 2  - 8\\f\left( { - 2} \right) =  - 16\sqrt 2  - 8\end{array}\]

Nên \[{P_{\max }} = 16\sqrt 2  - 8\]

Chọn A.

Câu 16(VD) – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất hàm logarit.

Tìm mối quan hệ của x và y.

Cách giải:

Ta có \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _4}\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) \ge 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4\\ \Rightarrow x \ge \sqrt {4 + {y^2}} \end{array}\)

Khi đó \(P \ge 2\sqrt {{y^2} + 4}  - y = f\left( y \right)\)

Xét \(f'\left( y \right) = \frac{{2y}}{{\sqrt {{y^2} + 4} }} - 1 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Khi đó \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \)

Chọn C.

Câu 17(TH) – Hệ tọa độ trong không gian.

Phương pháp:

Tìm các vecto của mặt phẳng.

Áp dụng công thức tính vecto có hướng.

Cách giải:

Ta có \(A\left( {0;1; - 2} \right),B\left( {3;1;1} \right),C\left( { - 2;0;3} \right)\)

Nên \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;0;3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 1;5} \right)\)

Do đó vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 21; - 3} \right)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là

\(\begin{array}{l}3x - 21\left( {y - 1} \right) - 3\left( {z + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x - 21y - 3z + 15 = 0\end{array}\)

Nên \(N\left( {2;1;0} \right)\) thuộc mặt phẳng trên.

Chọn A.

Câu 18(TH)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất đối xứng.

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) qua điểm \(I\left( {2;2} \right)\)

Gọi \(A\left( {x;y} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số  và điểm đối xứng của nó qua  là \(B\left( {x';y'} \right)\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + x' = 4\\y + y' = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + x' = 4\\f\left( x \right) + {\log _a}x' = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - x\\f\left( x \right) + {\log _a}\left( {4 - x} \right) = 4\end{array} \right.\)

Khi đó \(f\left( {4 - {a^{2018}}} \right) + {\log _a}\left( {4 - \left( {4 - {a^{2018}}} \right)} \right) = 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {4 - {a^{2018}}} \right) + 2018 = 4\\ \Rightarrow f\left( {4 - {a^{2018}}} \right) =  - 2014\end{array}\)

Chọn C.

Câu 19(TH) – Phương trình tiêp tuyến.

Phương pháp:

Tìm đạo hàm của hàm số.

Áp dụng tính chất song song.

Cách giải:

Ta có \[y = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x + 1\]

Nên hệ số góc của tiếp tuyến là \[k = y' = {x^2} - 4x + 3\]

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \[y = 3x + 1\] nên ta có \[{x^2} - 4x + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\]

Chọn D.

Câu 20(NB) – Mặt cầu.

Phương pháp:

Tìm tâm của mặt cầu.

Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu.

Cách giải:

Ta có \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 3 = 0\] có tâm là \[I\left( {1; - 1;2} \right)\]

Khi đó bán kính \[R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + 3}  = 3\]

Chọn A.

Câu 21(NB) – Cấp số cộng.

Phương pháp:

Áp dụng công thức của cấp số cộng.

Cách giải:

Ta có \[{u_n} = 2 - 3n\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_2} =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} =  - 3\]

Chọn C.

Câu 22(NB) – Thể tích khối đa diện.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều.

Cách giải:

Khối lăng trụ tam giác đều là khối lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a

Nên

\[ \Rightarrow h = 6a\]\[{P_{\max }} = 16\sqrt 2  - 8\]

Chọn D.

Câu 23(TH) – Thể tích khối đa diện.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón.

Cách giải:

Khối nón có thể tích bằng \(9{a^3}\pi \sqrt 2 \), bán kính đáy R

Nên \(V = 9{a^3}\pi \sqrt 2  = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\)

\( \Rightarrow h = \frac{{27\sqrt 2 {a^3}}}{{{R^2}}}\)

Diện tích xung quanh hình nón là

\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R.\sqrt {{h^2} + {R^2}}  = \frac{{\pi \sqrt {1458{a^6} + {R^6}} }}{R}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6{R^6} = 2\left( {1458{a^6} + {R^6}} \right)\\ \Rightarrow R = 3a\end{array}\)

Chọn A.

Câu 24(TH) – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Phương pháp:

Tìm đạo hàm của hàm số.

Xác định tính đơn điệu của hàm số trên khoảng đã cho

Cách giải:

Ta có \(y = x - 1 + \frac{4}{{x - 1}}\)

\( \Rightarrow y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m = 4\)

Chọn B.

Câu 25(TH) – Thể tích khối đa diện.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.

Cách giải:

Vì ABCD là hình thoi cạnh a và \(AC = a\) nên tam giác ABC là tam giác đều cạnh a.

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Khi đó thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Chọn D.

Câu 26(VD) – Tương giao đồ thị hàm số và tìm nghiệm của phương trình.

Phương pháp:

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\).

Dựa vào đồ thị hàm số để biện luận.

Cách giải:

Ta có \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 2f'\left( x \right).f\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\\end{array}\)

Bảng biến thiên của hàm số \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) đạt cực đại tại điểm \(x = 1\)

Chọn C.

Câu 27(NB) – Hệ tọa độ trong không gian.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính vecto trong không gian.

Cách giải:

Ta có \(A\left( {1; - 1; - 3} \right),B\left( { - 2;2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3;4} \right)\)

Chọn A.

Câu 28(TH) -  Thể tích khối đa diện.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.

Cách giải:

Gọi h là chiều cao hạ từ A xuống mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\)

Ta có \(h = \sin 30^\circ .SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SBC vuông cân tại S có \(BC = 2a \Rightarrow SB = SC = a\sqrt 2  \Rightarrow {S_{SBC}} = {a^2}\)

Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}h.{S_{SBC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Chọn D.

Câu 29(NB) – Phương trình hàm mũ.

Phương pháp:

Đưa 2 vế của phương trình về dạng cùng cơ số.

Cách giải:

Ta có \({2^{{x^{2 - 3x}}}} = \frac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{{x^{2 - 3x}}}} = {2^{ - 2}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x =  - 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn B.

Câu 30(NB) – Cực trị của hàm số.

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số để xác định.

Cách giải:

Dưạ vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực đại của hàm số là \(y =  - 1\)

Chọn C.

Câu 31(TH) – Mặt nón.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh mặt nón.

Cách giải:

Hình nón có đường sinh \(l = 4a\), bán kính đáy \(R = a\sqrt 3 \) thì diện tích xung quanh là \({S_{xq}} = \pi Rl = 4\sqrt 3 \pi {a^2}\)

Chọn C.

Câu 32(NB) – Phương trình mặt phẳng.

Phương pháp:

Mặt phẳng có dạng \(ax + by + cz + d = 0 \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) là vecto pháp tuyến của nó.

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3 = 0\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;0} \right)\)

Chọn C.

Câu 33(VD) – Mặt trụ.

Phơng pháp:

Áp dụng các công thức của hình trụ.

Cách giải:

Kẻ đường sinh \(AA'\left( {A' \in \left( {O'} \right)} \right)\)

Gọi H  là trung điểm \(A'B\)

Ta có \(\angle BAA' = 60^\circ ;{d_{\left( {AB;OO'} \right)}} = O'H = \frac{a}{2}\)

Ta có \(AA' = O'O = a \Rightarrow A'B = \tan 60^\circ .AA' = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow HB = \frac{{A'B}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \[O'B = \sqrt {O'{H^2} + B{H^2}}  = a\]

Khi đó thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi .O'{B^2}.O'O = \pi {a^3}\)

Chọn D.

Câu 34(VD) – Khoảng cách( lớp 11).

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính khoảng cách.

Cách giải:

Gọi O’ là giao điểm của A’B và AB’

Ta có \(\frac{{BO'}}{{AO'}} = 1 \Rightarrow \frac{{d\left( {B';\left( {A'BD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right)}} = 1\)

\( \Leftrightarrow d\left( {B';\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right)\)

Kẻ \(AH \bot BD\)

Ta có \(A'O \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow A'O \bot AH\)

\(AH \bot \left( {A'BD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = AH\)

Áp dụng hệ thực lượng trong tam giác ABD vuông tại A có đường cao AH ta có:

\(AH = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Chọn D.

Câu 35(NB) – Đạo hàm của hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của hàm số.

Cách giải:

Câu C  sai vì  vẫn có thể là cực trị của hàm số.

Chọn C.

Câu 36(VD) – Nhị thức Niuton.

Phương pháp:

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niuton.

Cách giải:

Ta có \(C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} = {2^{20}} - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{20}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{2^{2n + 1}}}}{2} = {2^{20}}\\ \Rightarrow n = 10\end{array}\)

Khi đó \({\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^n} = {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k \to 0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^k}.{\left( {2{x^7}} \right)^{10 - k}}\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^n} = \sum {C_{10}^k{{.2}^{10 - k}}.{x^{70 - 11k}}} \)

Số hạng chứa \({x^{26}}\) là \(70 - 11k = 26 \Rightarrow k = 4\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^{26}}\) là \(C_{10}^4{.2^{10 - 4}} = 13440\)

Chọn A.

Câu 37)VD) – Nguyên hàm, tích phân.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất của nguyên hàm, tích phân.

Cách giải:

Giả sử \(f\left( x \right) = {e^{a{x^2} + bx + c}}\)

Ta có

 \(\begin{array}{l} = {\left( {{e^{a{x^2} + bx + c}}} \right)^2}\left[ {2 - 2a} \right] = 0\\ \Rightarrow a = 1\end{array}\)

Do đó hàm số có dạng \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} + bx + c}}\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = {e^c} = 1 \Rightarrow c = 0\\f\left( 2 \right) = {e^{4 + 2b + c}} = {e^6} \Rightarrow b = 1\end{array} \right.\)

Nên \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} + x}}\)

Khi đó \[I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right){e^{{x^2} + x}}dx}  = 1 - {e^2}\]

Chọn B.

Câu 38(TH) – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất vuông góc và công thức lượng giác.

Cách giải:

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow A\) là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD

Nên \(\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SCA\)

Hình vuông ABCD có cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \)

Tam giác SAC vuông nên

\(\tan \angle SCA = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \angle SCA = 30^\circ \)

Chọn A.

Câu 39(VD) – Hệ tọa độ trong không gian.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tọa độ trong không gian.

Cách giải:

Gọi I là điểm bất kì sao cho \(3\overrightarrow {IA}  - 2\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 0 \Rightarrow I\left( { - 2; - 3;3} \right)\)

Khi đó \(T = \left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\) đạt giá trị nhỏ nhât khi

 M là hình chiếu của I trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 4 = 0\)

Khi đó \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1;1; - 1} \right) \Rightarrow M\left( { - 1; - 2;2} \right) \Rightarrow S =  - 1\)

Chọn B.

Câu 40(VD) – Phương trình lượng giác.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất của phương trình lượng giác.

Cách giải:

Ta có \(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6x} \right) + 15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) = 16\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6x} \right) \le 1\\15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) \le 15\end{array} \right. \Rightarrow \sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6x} \right) + 15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) \le 16\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6x} \right) = 1\\\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{5\pi }}{4} - 6x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\\frac{\pi }{4} + 2x = \frac{\pi }{2} + k'2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} - \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{8} + k'\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 3k'\\x = \frac{\pi }{8} + k'\pi \end{array} \right.;x \in \left[ { - 2019;2019} \right]\)

\( \Rightarrow k' \in \left[ { - 642;642} \right] \Rightarrow \) có 1285 nghiệm

Khi đó tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{{1285\pi }}{8}\)

Chọn B.

Câu 41(NB) – Hàm số mũ.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của hàm số mũ.

Cách giải:

Hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^\pi }\) xác định khi \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1\)

Chọn B.

Câu 42(TH) – Nguyên hàm.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính nguyên hàm.

Cách giải:

Ta có \(f\left( x \right) = {e^{ - x}} + \cos x \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{ - x}} + \cos x} \right)dx} \)

\( \Rightarrow F\left( x \right) =  - {e^{ - x}} + \sin x + C\)

Chọn C.

Câu 43(TH) – Thể tích khối đa diện.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp, hình hộp chữ nhật.

Cách giải:

Tứ diện BDB’C’ có \(DC \bot \left( {BB'C'} \right) \Rightarrow DC\) là đường cao tứ diện

Nên \({V_{BDB'C'}} = \frac{1}{3}DC.{S_{BB'C'}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{a.2a}}{2} = \frac{{{a^3}}}{3}\)

Chọn D.

Câu 44(VD) – Phương trình.

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ.

Giải và biện luận phương trình

Cách giải:

Ta có \({x^2} - x + 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {x - m}  - m = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {x - m}  + \left( {x - m} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\left[ {1 - x + \sqrt {x - m} } \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x + \sqrt {x - m}  = 1\\1 - x + \sqrt {x - m}  =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - m}  = x\\\sqrt {x - m}  = x - 2\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - m = {x^2}\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - {x^2}\\x \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - m = {x^2} - 4x + 4\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - {x^2} + 5x - 4\\x \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Xét \(y = x - {x^2} \Rightarrow y' = 1 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Xét \(y =  - {x^2} + 5x - 4 \Rightarrow y' =  - 2x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

 Để phương trình có 3 nghiệm thì \(0 \le m < \frac{1}{4}\)

Chọn B.

Câu 45(VD) – Nguyên hàm, tích phân.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm, nguyên hàm, tích phân.

Cách giải:

Ta có \(g\left( x \right) = \frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}\) có nguyên hàm là \(f\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 1} \)

Nên \(f'\left( x \right) = \left[ {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 1} } \right]' = \frac{{5a{x^2} + \left( { - 2a + 3b} \right)x - b + c}}{{\sqrt {2x - 1} }} = \frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\\c - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 2\)

Chọn C.

Câu 46(VD) – Tích phân.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất cộng trừ tích phân.

Cách giải:

Ta có \(\begin{array}{l}\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx = 10} \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  + 3\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = 10} \end{array}\)

Mà \(\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = 6}  \Leftrightarrow 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx - \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = 6} } \)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = 4} \\\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = 2} \end{array} \right. \Rightarrow I = 6\)

Chọn A.

Câu 47(VD) – Thể tích khối đa diện.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích theo tích phân.

Cách giải:

Do đường kính đáy bình bằng 2dm nên bán kính đáy bình là 1dm

Tương tự, bán kính miệng bình là 2dm.

Ta có \(y = 1 \Rightarrow x = 0;y = 2 \Rightarrow x = 3\)

Vậy \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}} dx = \frac{{15\pi }}{2}\left( {d{m^3}} \right)\)

Chọn D.

Câu 48(TH) – Phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Tìm tâm của mặt cầu, bán kính mặt cầu.

Viết phương trình mặt cầu.

Cách giải:

Ta có \(A\left( {4; - 1;3} \right),B\left( {0;1; - 5} \right)\) có trung điểm \(I\left( {2;0; - 1} \right)\)

Nên bán kính mặt cầu đường kính AB là \(R = IA = \sqrt {21} \)

Khi đó phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 21\)

Chọn A.

Câu 49(TH) – Hàm logarit.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất của hàm logarit.

Cách giải:

Ta có \({\log _6}15 = {\log _6}3 + {\log _6}5 = \frac{1}{{{{\log }_3}6}} + \frac{1}{{{{\log }_5}6}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{{1 + {{\log }_3}2}} + \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}\\ = \frac{1}{{1 + \frac{1}{a}}} + \frac{1}{{\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{b}}}\end{array}\)

\( = \frac{a}{{a + 1}} + \frac{{ab}}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {b + 1} \right)}}{{a + 1}}\)

Chọn A.

Câu 50(NB) – Thể tích khối đa diện.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ.

Cách giải:

Khối trụ có bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 3

\( \Rightarrow V = \pi {.6^2}.3 = 108\pi \)

Chọn B.

Loigiaihay.com