Bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12


Giải bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12. Parabol chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng

Đề bài

Parabol \(y = {{{x^2}} \over 2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt2\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Xác định các phần của đường tròn được chia bởi parabol (P).

+) Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng để tính diện tích hai phần được chia sau đó tính tỉ số của hai phần diện tích.

Lời giải chi tiết

Đường tròn đã cho có phương trình: \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}8.\)

Từ đó ta có: \(y =  \pm \sqrt {8 - {x^2}} \)

Tọa độ giao điểm của \((C)\) và \((P)\) là nghiệm của hệ phương trình: 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 2y \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} + 2y - 8 = 0 \hfill \cr
{x^2} = 2y \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \begin{array}{l} y = 2\;\;\left( {tm} \right)\\y = - 4\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \hfill \cr x^2=2y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = 2 \hfill \cr x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol \((P)\) như hình vẽ.

Khi đó ta có:

\(S_1 = 2\int_0^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}}  - {{{x^2}} \over 2}} \right)} d{\rm{x}}\)

\(= 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx - \left[ {{{{x^3}} \over 3}} \right]} \left| {_0^2 = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {x^2}} } dx - {8 \over 3}} \right.\)

Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 {\mathop{\rm costdt}\nolimits} \)

Đổi cận: \(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr
& x = 2 \Rightarrow t = {\pi \over 4} \cr} \)

\({S_1} = 2\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 {\rm{costdt - }}{8 \over 3}} \)

\( = 16\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{\cos }^2}tdt - {8 \over 3}} \)\( = 8\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {(1 + cos2t)dt - {8 \over 3}} \)

\(= [8t + 4sint2t]|_0^{{\pi  \over 4}} - {8 \over 3} = 2\pi  + {4 \over 3}\)

Diện tích hình tròn là: \(\pi R^2=8\pi\) và \({S_2} = 8\pi  - {S_1}= 8\pi-2\pi  - {4 \over 3}=6\pi-{4\over 3}.\)

Vậy \({{{S_2}} \over {{S_1}}} = {{9\pi  - 2} \over {3\pi  + 2}}\) hay \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{3\pi  + 2}}{{9\pi  - 2}}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.9 trên 17 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài