Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = - {x^2}\);

b) \(f\left( x \right) = {x^3} - 2x\);

c) \(f\left( x \right) = \frac{4}{x}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính giới hạn \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( { - {x^2}} \right) - \left( { - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0}} \right) = - {x_0} - {x_0} = - 2{{\rm{x}}_0}\)

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( { - {x^2}} \right)^\prime } = - 2x\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - 2{\rm{x}}} \right) - \left( {x_0^3 - 2{{\rm{x}}_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - 2{\rm{x}} - x_0^3 + 2{{\rm{x}}_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - x_0^3} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right) = x_0^2 + {x_0}.{x_0} + x_0^2 - 2 = 3{\rm{x}}_0^2 - 2\)

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 2{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 2\) trên \(\mathbb{R}\).

c) Với bất kì \({x_0} \ne 0\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{4}{x} - \frac{4}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{4{x_0} - 4x}}{{x{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4{x_0} - 4x}}{{x{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 4}}{{x{{\rm{x}}_0}}} = \frac{{ - 4}}{{{x_0}.{x_0}}} = - \frac{4}{{x_0^2}}\)

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{4}{x}} \right)^\prime } = - \frac{4}{{{x^2}}}\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 2 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\)
Bài 3 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3}\)
Bài 4 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = 4{t^3} + 6t + 2\)
Bài 5 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5%/năm.
Bài 6 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 0,81{t^2}\)
Giải mục 3 trang 40, 41 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền \(A\) triệu đồng (gọi là vốn) với lãi suất \(r\)/năm
Giải mục 2 trang 39, 40 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{1}{2}{x^2}) có đồ thị (left( C right))
Giải mục 1 trang 37, 38, 39 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức
Lý thuyết Đạo hàm - Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).