Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

1. Định nghĩa

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x_1,x₂∈ K, x₁< x₂thì f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x_1,x₂∈ K, x₁< x₂thì f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

- Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.

- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

Định lý mở rộng

- Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.

4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

i) Tìm tập xác định

ii) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i(i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

iii) Sắp xếp các điểm x_itheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

iv) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.6 trên 35 phiếu

Tính đơn điệu của hàm số
Tính đơn điệu của hàm số, khảo sát sự biến thiên, tính đơn điệu của hàm số, điều kiện để hàm số đồng biến - nghịch biến
Trả lời câu hỏi 1 trang 4 SGK Giải tích 12
Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số (y = cos x) trên đoạn (displaystyle left[ {{{ - pi } over 2};,{{3pi } over 2}} right]) và các hàm số (displaystyle y = left| x right|) trên khoảng (displaystyle left( { - infty ; + infty } right)).
Trả lời câu hỏi 2 trang 5 SGK Giải tích 12
Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng Xét dấu đạo hàm của hàm số và điền vào bảng tương ứng.
Trả lời câu hỏi 3 trang 7 SGK Giải tích 12
Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? ...
Giải bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
Giải bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
Giải bài 3 trang 10 SGK Giải tích 12
Chứng minh rằng
Giải bài 4 trang 10 SGK Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số
Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Các dạng toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Một số dạng bài thường gặp