Giải mục 6 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hàm số (u = sin x) và hàm số (y = {u^2}).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 6

Cho hàm số \(u = \sin x\) và hàm số \(y = {u^2}\).

a) Tính \(y\) theo \(x\).

b) Tính \(y{'_x}\) (đạo hàm của \(y\) theo biến \(x\)), \(y{'_u}\) (đạo hàm của \(y\) theo biến \(u\)) và \(u{'_x}\) (đạo hàm của \(u\) theo biến \(x\)) rồi so sánh \(y{'_x}\) với \(y{'_u}.u{'_x}\).

Phương pháp giải:

a) Thay \(u = \sin x\) vào \(y\).

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm: \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}};{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).

Lời giải chi tiết:

a) \(y = {u^2} = {\left( {\sin x} \right)^2} = {\sin ^2}x\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}y{'_x} = {\left( {\sin x.\sin x} \right)^\prime } = {\left( {\sin x} \right)^\prime }.\sin x + \sin x.{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\sin x + \sin x.\cos x = 2\sin x\cos x\\y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\\u{'_x} = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\\ \Rightarrow y{'_u}.u{'_x} = 2u.\cos x = 2\sin x\cos x\end{array}\)

Vậy \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).

Thực hành 7

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {2{x^3} + 3} \right)^2}\);

b) \(y = \cos 3x\);

c) \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).

Lời giải chi tiết:

a) Đặt \(u = 2{{\rm{x}}^3} + 3\) thì \(y = {u^2}\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right)^\prime } = 6{{\rm{x}}^2}\) và \(y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = 2u.6{{\rm{x}}^2} = 2\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right).6{{\rm{x}}^2} = 12{{\rm{x}}^2}\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right).\)

Vậy \(y' = 12{{\rm{x}}^2}\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right)\).

b) Đặt \(u = 3{\rm{x}}\) thì \(y = \cos u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3\) và \(y{'_u} = {\left( {\cos u} \right)^\prime } = - \sin u\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = - \sin u.3 = - 3\sin 3{\rm{x}}\).

Vậy \(y' = - 3\sin 3{\rm{x}}\).

c) Đặt \(u = {x^2} + 2\) thì \(y = {\log _2}u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {{{\log }_2}u} \right)^\prime } = \frac{1}{{u\ln 2}}\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = \frac{1}{{u\ln 2}}.2x = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.2x = \frac{2x}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.\)

Vậy \(y' = \frac{2x}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.7 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 7 trang 47, 48 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = 2{t^3} + 4t + 1\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) là thời gian tính bằng giây.
Bài 1 trang 48 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 2 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 3 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Bài 5 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số (wleft( t right) = 0,000758{t^3} - 0,0596{t^2} + 1,82t + 8,15)
Bài 6 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất \(x\) mặt hàng
Bài 7 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức
Giải mục 5 trang 45, 46 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là hai hàm số có đạo hàm tại \({x_0}\). Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\).
Giải mục 4 trang 44 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\). Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:
Giải mục 3 trang 44 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\). Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\).
Giải mục 2 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số (y = sqrt x ) tại điểm (x = {x_0}) với ({x_0} > 0).
Giải mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
a) Dùng định nghĩa tỉnh đạo hàm của hàm số (y = x) tại điểm (x = {x_0}).
Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định.