Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Chân trời sáng ..

Giải mục 6 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Cho hàm số (u = sin x) và hàm số (y = {u^2}).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 6

Cho hàm số \(u = \sin x\) và hàm số \(y = {u^2}\).

a) Tính \(y\) theo \(x\).

b) Tính \(y{'_x}\) (đạo hàm của \(y\) theo biến \(x\)), \(y{'_u}\) (đạo hàm của \(y\) theo biến \(u\)) và \(u{'_x}\) (đạo hàm của \(u\) theo biến \(x\)) rồi so sánh \(y{'_x}\) với \(y{'_u}.u{'_x}\).

Phương pháp giải:

a) Thay \(u = \sin x\) vào \(y\).

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm: \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}};{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).

Lời giải chi tiết:

a) \(y = {u^2} = {\left( {\sin x} \right)^2} = {\sin ^2}x\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}y{'_x} = {\left( {\sin x.\sin x} \right)^\prime } = {\left( {\sin x} \right)^\prime }.\sin x + \sin x.{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\sin x + \sin x.\cos x = 2\sin x\cos x\\y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\\u{'_x} = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\\ \Rightarrow y{'_u}.u{'_x} = 2u.\cos x = 2\sin x\cos x\end{array}\)

Vậy \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).

Thực hành 7

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {2{x^3} + 3} \right)^2}\);                                  

b) \(y = \cos 3x\);         

c) \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).

Lời giải chi tiết:

a) Đặt \(u = 2{{\rm{x}}^3} + 3\) thì \(y = {u^2}\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right)^\prime } = 6{{\rm{x}}^2}\) và \(y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = 2u.6{{\rm{x}}^2} = 2\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right).6{{\rm{x}}^2} = 12{{\rm{x}}^2}\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right).\)

Vậy \(y' = 12{{\rm{x}}^2}\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right)\).

b) Đặt \(u = 3{\rm{x}}\) thì \(y = \cos u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3\) và \(y{'_u} = {\left( {\cos u} \right)^\prime } =  - \sin u\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} =  - \sin u.3 =  - 3\sin 3{\rm{x}}\).

Vậy \(y' =  - 3\sin 3{\rm{x}}\).

c) Đặt \(u = {x^2} + 2\) thì \(y = {\log _2}u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {{{\log }_2}u} \right)^\prime } = \frac{1}{{u\ln 2}}\).

Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = \frac{1}{{u\ln 2}}.2x = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.2x = \frac{2x}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.\)

Vậy \(y' = \frac{2x}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.\)


Bình chọn:
3.7 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store