Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Chân trời sáng ..

Giải mục 2 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số (y = sqrt x ) tại điểm (x = {x_0}) với ({x_0} > 0).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm \(x = {x_0}\) với \({x_0} > 0\).

Phương pháp giải:

Tính giới hạn \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

Với bất kì \({x_0} > 0\), ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x_0}}  + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\end{array}\)

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Thực hành 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm có hoành độ bằng 4.

Phương pháp giải:

Hệ số góc: \(f'\left( {{x_0}} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\({y_0} = \sqrt 4  = 2\)

Ta có: \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) nên tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {4;2} \right)\) có hệ số góc là: \(f'\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là:

\(y - 2 = \frac{1}{4}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x - 1 + 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x + 1\).

Thực hành 3

Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) \(y = \sqrt[4]{x}\) tại \(x = 1\);     

b) \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x =  - \frac{1}{4}\);

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha  - 1}}\left( {x > 0} \right)\).

b) Sử dụng công thức \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{x^2}}}\left( {x \ne 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) \(y' = {\left( {\sqrt[4]{x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{4}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{4}{x^{\frac{1}{4} - 1}} = \frac{1}{4}{x^{ - \frac{3}{4}}} = \frac{1}{{4\sqrt[4]{{{x^3}}}}}\)

\(y'\left( 1 \right) = \frac{1}{{4\sqrt[4]{{{1^3}}}}} = \frac{1}{4}\).

b) \(y' = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{x^2}}}\)

\(y'\left( { - \frac{1}{4}} \right) =  - \frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^2}}} =  - 16\).


Bình chọn:
4 trên 9 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store