Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 4 – Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Tìm \(\int {\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} - 6x + 9}}\,dx} \).

A. \(I = \ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).    

B. \(I = \dfrac{1}{5}\ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).

C. \(I = \ln |x - 3| + \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).     

D. \(I = 5\ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).

Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \tan x,\,\,y = 0,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}\) quanh Ox là:

A. \(\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}\)    

B. \(\dfrac{\pi }{3} - 3\)                     

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{3} - \pi \sqrt 3 \)  

D. \(\pi \sqrt 3  - \dfrac{{{\pi ^2}}}{3}\).

Câu 3. Tìm \(I = \int {\cos \left( {4x + 3} \right)\,dx} \).

A. \(I = \sin \left( {4x + 2} \right) + C\).        

B. \(I =  - \sin \left( {4x + 3} \right) + C\).

C. \(I = \dfrac{1}{4}\sin \left( {4x + 3} \right) + C\). 

D. \(I = 4\sin \left( {4x + 3} \right) + C\).

Câu 4. Đặt \(F(x) = \int\limits_1^x {t\,dt} \). Khi đó F’(x) là hàm số nào dưới đây ?

A . F’(x) = x.          

B. F’(x) = 1.

C. F’(x) = x – 1.                  

D. F’(x) = \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\).

Câu 5. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của \(f(x) = \dfrac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) ?

A. \(2\ln |x + 1| + \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}}\). 

B. \(\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}}\).

C. \(\ln {\left( {x + 1} \right)^2} + \dfrac{{2{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}}\). 

D. \(\dfrac{{2{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}} + \ln {e^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\).

Câu 6. Tính nguyên hàm \(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}\,dx} \) ta được:

A. \(\dfrac{1}{{20}}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).  

B. \(\dfrac{1}{{20}}{\left( {5x + 3} \right)^4}\).

C. \(\dfrac{1}{4}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).           

D. \(\dfrac{1}{5}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).

Câu 7. Cho \(f(x) \ge g(x),\forall x \in [a;b]\). Hình phẳng S₁ giới hạn bởi đường  y = f(x), y = 0, x = a, x = b (a<b) đem quay quanh Ox có thể tích V₁. Hình phẳng S₂ giới hạn bởi đường  y = g(x), y = 0, x = a, x = b  đem quay quanh Ox có thể tích V₂. Lựa chọn phương án đúng.

A. Nếu V₁ = V₂ thì chắc chắn suy ra \(f(x) = g(x),\forall x \in [a;b]\).

B. S₁>S₂.

C. V₁ > V₂.

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : \(y = {x^2}\,,\,y = \dfrac{{{x^2}}}{8},\,\,y = \dfrac{{27}}{x}\) là:

A. 27ln2.             

B. 72ln27

C. 3ln72.                   

D. Một kết quả khác.

Câu 9. Chọn phương án đúng.

A. \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}  =  - \cot x\left| {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} =  - 2} \right.\)

B. \(\int\limits_2^1 {dx}  = 1\).

C. \(\int\limits_{ - e}^e {\dfrac{{dx}}{x} = ln|2e|}  - \ln | - e| = \ln 2\).

D. Cả 3 phương án đều sai.

Câu 10. Tính tích phân \(\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {{\sin }^2}x\,dx;\,\,\dfrac{\pi }{2} > a > 0 \)

A. \( - \dfrac{1}{4}\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a\).

B. \(  \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a} \right)\).

C. \( - \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a} \right)\).

D. 0.

Câu 11. Tích phân \(\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \dfrac{{a\sqrt 2  - b}}{3}\)  thì a + b bằng :

A. 2                         B. 4   

C. 3                         D. 5

Câu 12. Trong các hàm số f(x) dưới đây, hàm số nào thỏa mãn đẳng thức \(\int {f(x).\sin x\,dx =  - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}.\cos x\,dx} } \)?

A. \(f(x) = {\pi ^x}\ln x\).   

B. \(f(x0 =  - {\pi ^x}\ln x\).

C. \(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).      

D. \(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}\).

Câu 13. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + 2x\) thỏa mãn \(F(0) = \dfrac{3}{2}\). Tìm F(x) ?

A. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{3}{2}\).

B. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{5}{2}\)

C. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\)

D. \(F(x) = 2{e^x} + {x^2} - \dfrac{1}{2}\).

Câu 14. Biết F(x) là  nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{x - 1}}\,,\,\,F(2) = 1\). Tính F(3).

A. \(F(3) = \dfrac{1}{2}\).        

B. \(F(3) = \ln \dfrac{3}{2}\).

C. F(3) = ln2.             

D. F(3) = ln2 + 1.

Câu 15. Hàm số \(F(x) = 3{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 1\) có một nguyên hàm là:

A. \(f(x) = {x^3} - 2\sqrt x  - \dfrac{1}{x} - x\).

B. \(f(x) = {x^3} - \sqrt x  - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - x\).

C. \(f(x) = {x^3} - 2\sqrt x  + \dfrac{1}{x}\).

D. \(f(x{x^3} - \dfrac{1}{2}\sqrt x  - \dfrac{1}{x} - x\).

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\) và đường thẳng \(y =  - x\) là:

A. \(\dfrac{9}{2}\).                            B. 3 

C. \(\dfrac{9}{4}\)                              D. \(\dfrac{7}{2}\).

Câu 17. Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\,dx} \) được viết dưới dạng a + bln2. Tính giá trị của a + b.

A. \(\dfrac{3}{2}\)                              B. \( - \dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{5}{2}\)                               D. \( - \dfrac{5}{2}\)          

Câu 18. Tìm \(I = \int {\sin 5x.\cos x\,dx} \).

A. \(I =  - \dfrac{1}{5}\cos 5x + C\). 

B. \(I = \dfrac{1}{5}\cos 5x + C\).

C. \(I =  - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{12}}\cos 6x + C\).  

D. \(I = \dfrac{1}{8}\cos 4x + \dfrac{1}{{12}}\cos 6x + C\).

Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^x} - {e^{ - x}}\), trục hoành, đường thẳng x= - 1 và  đường thẳng x = 1.

A. \(e + \dfrac{1}{e} - 2\)

B. 0

C. \(2\left( {e + \dfrac{1}{e} - 2} \right)\).      

D. \(e + \dfrac{1}{e}\).

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\left( {2 + 3{x^2}} \right)\) là:

A. \({x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{4}{x^2}} \right) + C\).  

B. \(\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^3}} \right) + C\).

C. \({x^2}\left( {2 + 6x} \right) + C\).         

D. \({x^2} + \dfrac{3}{4}{x^4}\).

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số \(\int {\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right)\,dx} \) là:

A. \(\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\). 

B. \( - \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).

C. \(\dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).

D. \( - \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).

Câu 22. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x  + 1}}} \) ta được :

A. \(2\sqrt x  + 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\). 

B. \(2 - 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\).

C. \(2\sqrt x  - 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\).

D. \(2 + 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\).

Câu 23. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng :

A. S= ln 2 – 1     

B. S = ln 4 – 1 .

C. S =ln 4 + 1.              

D. S = ln 2 + 1.

Câu 24. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 5} \right)\,dx = 6} \).

A. m = 1, m = - 6    

B. m = - 1 , m = - 6.

C. m = - 1, m = 6.          

D. m = 1, m = 6.

Câu 25. Biết \(\int\limits_2^4 {\dfrac{1}{{2x + 1}}\,dx = m\ln 5 + n\ln 3\,\left( {m,n \in R} \right)} \). Tính P = m – n .

A. \(P =  - \dfrac{3}{2}\).               

B. \(P = \dfrac{3}{2}\).

C. \(P =  - \dfrac{5}{3}\).          

D. \(P = \dfrac{5}{3}\).

Lời giải chi tiết

 Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Ta có: \(\int {\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} - 6x + 9}}\,dx}  \)

\(= \int {\dfrac{{5\left( {x - 3} \right) + 16}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}} \,dx \)

\(= \int {\left( {\dfrac{5}{{x - 3}} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}} \right)} \,d\left( {x - 3} \right)\)

\( = 5\ln \left| {x - 3} \right| - \dfrac{{16}}{{\left( {x - 3} \right)}} + C\)

Chọn đáp án D.

Câu 2.

Thể tích khối tròn xoay được xác định bởi công thức:

\(V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {{{\tan }^2}x\,dx}  \)

\(\;\;\;= \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)\,dx} \)

\(\;\;\;= \pi \left( {\tan x - x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{3}}\\_0\end{array} \right. \)

\(\;\;\;= \pi \left( {\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \pi \sqrt 3  - \dfrac{{{\pi ^2}}}{3}\)

Chọn đáp án D.

Câu 3.

Ta có: \(I = \int {\cos \left( {4x + 3} \right)\,dx}  \)

\(= \dfrac{1}{4}\int \cos \left( {4x + 3} \right)\,d\left( {4x + 3} \right) \)

\(= \dfrac{1}{4}\sin \left( {4x + 3} \right)  + C\)

Chọn đáp án C.

Câu 4.

Ta có: \(F(x) = \int\limits_1^x {t\,dt}  = \left( {\dfrac{{{t^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^x\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow F'\left( x \right) = x.\)

Chọn đáp án A.

Câu 5.

Ta có: \(\int {\dfrac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \,dx\)

\(= \int {\dfrac{{2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,d\left( {x + 1} \right)}\)

\(  = \int {\left( {2 + \dfrac{2}{{x + 1}} - \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\,d\left( {x + 1} \right)} \)

\( = 2x + 2\ln \left| {x + 1} \right| + \dfrac{4}{{x + 1}} + C\)

\(= \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}} + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 6.

Ta có: \(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}\,dx}  \)

\(= \dfrac{1}{5}\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}} \,d\left( {5x + 3} \right) \)

\(= \dfrac{1}{5}.\dfrac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^4}}}{4} + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 7.

Ta có:

+ \({V_1} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} \,dx\)

+ \({V_2} = \pi \int\limits_a^b {{g^2}\left( x \right)} \,dx\)

Nếu V₁ = V₂ thì chưa chắc ta có: \(f(x) = g(x),\forall x \in [a;b]\).

Chọn đáp án D.

Câu 8.

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{{{x^2}}}{8}\\{x^2} = \dfrac{{27}}{x}\\\dfrac{{{x^2}}}{8} = \dfrac{{27}}{x}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức:

\(S = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - \dfrac{{x{}^2}}{8}} \right)} \,dx + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - \dfrac{{27}}{x}} \right)\,dx}  \)

\(= \dfrac{7}{8}\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. + \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - 27\ln \left| x \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^3\\_2\end{array} \right.\)

\( = \dfrac{7}{8}\left( {\dfrac{8}{3}} \right) + \left( {9 - 27\ln 3 - \dfrac{8}{3} + 27\ln 2} \right)\)

\(= 26 - 27\ln \dfrac{3}{2}\)

Câu 9

+ \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}  =  - \cot x\left| {_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} =  - 1 - } \right.1 \)\(\,=  - 2.\) sai vì hàm số không liên tục

+ \(\int\limits_2^1 {dx}  = 1 =  - \int\limits_1^2 {dx}  =  - \left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right. \)\(\,=  - \left( {2 - 1} \right) =  - 1.\)

+ \(\int\limits_{ - e}^e {\dfrac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}^e\\_{ - e}\end{array} \right.\)\(\, = \ln \left| e \right| - \ln \left| { - e} \right| = 0.\)

Chọn đáp án D.

Câu 10.

Ta có:

\(\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {{{\cos }^2}x\,dx\,} \)

\(= \dfrac{1}{2}\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {\dfrac{{\cos 2x + 1}}{2}} \,d\left( {2x} \right) \)

\(= \dfrac{1}{4}\left( {\sin 2x + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2} - a}\\_a\end{array} \right. \)

\(= \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) + \pi  - 2a - \sin 2a - 2a} \right)\)

\( = \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a} \right)\)

Chọn đáp án B.

Câu 11.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx \\= \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} \,} d\left( {{x^2} + 1} \right) \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. \\= \dfrac{1}{3}\left( {2\sqrt 2  - 1} \right) = \dfrac{{2\sqrt 2  - 1}}{3}\\\end{array}\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 3.\)

Chọn đáp án C.

Câu 12.

Ta có: \(\int {\dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}} .\sin x\,dx = \int { - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}} \,d\left( {\cos x} \right) \)\(\,= \left( { - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}.\cos x} \right) + \int {{\pi ^x}.\cos x\,dx} \)

Chọn đáp án C.

Câu 13.

Ta có: \(\int {\left( {{e^x} + 2x} \right)\,dx}  = {e^x} + {x^2} + C\)

Theo giả thiết ta có: \(F(0) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {e^0} + C = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\)

Khi đó \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\)

Chọn đáp án C.

Câu 14.

Ta có: \(\int {\left( {\dfrac{1}{{x - 1}}} \right)} \,dx = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,d\left( {x - 1} \right) }\)\(\,=  \ln \left| {x - 1} \right| + C\)

Theo giả thiết ta có: \(F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1.\)

Khi đó ta có: \(F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1.\)

Chọn đáp án D.

Câu 15.

Ta có: \(\int {\left( {3{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)} \,dx \)\(\,= {x^3} - 2\sqrt x  - \dfrac{1}{x} - x + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 16.

Phương trình hoành độ giao điểm \(2 - {x^2} =  - x \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\left( {2 - {x^2}} \right) + x} \right)\,dx} \)\(\, = \left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_{ - 1}\end{array} \right.\)\(\, = \dfrac{{10}}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{9}{2}.\)

Chọn đáp án A.

Câu 17.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\,dx}  \\= \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^0\\_{ - 1}\end{array} \right. \\= 0 - \left( {2\ln 2 - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2} - 2\ln 2\\\end{array}\)

Khi đó \(a + b = \dfrac{1}{2} - 2 =  - \dfrac{3}{2}.\)

Chọn đáp án B.

Câu 18.

Ta có: \(I = \int {\sin 5x.\cos x\,dx}  \)\(\,= \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 6x + \sin 4x} \right)} \,dx\)\(\, =  - \dfrac{1}{{12}}\cos 6x - \dfrac{1}{8}\cos 4x + C\)

Chọn đáp án C.

Câu 19.

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức:

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)dx}  = \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left| {_{ - 1}^1} \right. \)\(\,= e + \dfrac{1}{e} - e - \dfrac{1}{e} = 0\)

Chọn đáp án B.

Câu 20.

Ta có:

\(\int {x\left( {2 + 3{x^2}} \right)\,dx}  \)

\(= \int {\left( {3{x^3} + 2x} \right)} \,dx \)

\(= \dfrac{3}{4}{x^4} + {x^2} + C \)

\(= {x^2}\left( {\dfrac{3}{4}{x^2} + 1} \right) + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 21.

Ta có:

\(\int {\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right)\,dx} \)

\(= \dfrac{1}{2}\int \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)\,d\left( {2x} \right) \)

\(= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C \)

\( = \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).

Chọn đáp án C.

Câu 22.

Đặt \(t = \sqrt x  \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow dx = 2t\,dt\)

Khi đó ta có:

\(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x  + 1}}}  = \int {\dfrac{{2t}}{{t + 1}}\,dt}  \)

\(= \int {\dfrac{{2\left( {t + 1} \right) - 2}}{{t + 1}}} \,dt \)

\(= \int {\left( {2 - \dfrac{2}{{t + 1}}} \right)\,dt} \)

\( = 2t - 2\ln \left| {t + 1} \right| + C \)

\(= 2\sqrt x  - 2\ln \left| {\sqrt x  + 1} \right| + C \)

\(= 2\sqrt x  - 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\)

Chọn đáp án C.

Câu 23.

Diện tích hình phẳng giới hạn được xác định bởi công thức:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|\,dx}  = \int\limits_0^1 {\left| {1 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right|\,dx}  \)

\(\;\;\;= \left| {x - 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.\)

\(\;\;\;= 2\ln 2 - 1 = \ln 4 - 1.\)

Chọn đáp án B.

Câu 24.

Ta có: \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 5} \right)\,dx = \left( {{x^2} + 5x} \right)} \left| \begin{array}{l}^m\\_0\end{array} \right.\)\(\, = {m^2} + 5m = 6\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 5m - 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 6 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 6\\m = 1\end{array} \right.\)

Chọn đáp án A.

Câu 25.

Ta có:

\(\int\limits_2^4 \dfrac{1}{{2x + 1}}\,dx \)

\(= \dfrac{1}{2}\int\limits_2^4 \dfrac{1}{{2x + 1}}\,d\left( {2x + 1} \right) \)

\(= \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|\left| \begin{array}{l}{}^4\\_2\end{array} \right. \)

\(= \ln 3 - \dfrac{1}{2}\ln 5 = m\ln 5 + n\ln 3\, \)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P = m - n =  - \dfrac{3}{2}.\)

Chọn đáp án A.

Loigiaihay.com