Bài 5 trang 70 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông \({H_0}\) cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông \({H_0}\) thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \({H_1}\) (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của \({H_1}\) thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \({H_2}\) (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình \({H_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)\).

Ta có: \({H_1}\) có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{3}\);

\({H_2}\) có \(5.5 = {5^2}\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{{3^2}}}\);…

Từ đó, nhận được hình \({H_n}\) có \({5^n}\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{{{3^n}}}\).

a) Tính diện tích \({S_n}\) của \({H_n}\) và tính \(\lim {S_n}\).

b) Tính chu vi \({p_n}\) của \({H_n}\) và tính \(\lim {p_n}\).

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích \(\lim {S_n}\) và chu vi \(\lim {p_n}\)).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\): \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) và công thức tính giới hạn cơ bản: \(\lim {q^n} = 0\), với \(q\) là số thực thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

Diện tích \({H_1}\) bằng \(5.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\);

Diện tích \({H_2}\) bằng \({5^2}.{\left( {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)^2} = {5^2}.{\left( {\frac{1}{{{3^2}}}} \right)^2}\);

Diện tích \({H_3}\) bằng \({5^3}.{\left( {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}} \right)^2} = {5^3}.{\left( {\frac{1}{{{3^3}}}} \right)^2}\);

…

Diện tích \({H_n}\) bằng \({5^n}.{\left( {\frac{1}{{{3^n}}}} \right)^2}\).

\({S_n} = {5^n}.{\left( {\frac{1}{{{3^n}}}} \right)^2} = {5^n}.\frac{1}{{{9^n}}} = {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n},n = 1,2,3,...\)

\(\lim {S_n} = \lim {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n} = 0\)

b) Ta có:

Chu vi \({H_1}\) bằng \(5.4.\frac{1}{3} = 4.\frac{5}{3}\);

Chu vi \({H_2}\) bằng \({5^2}.4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^2}\);

…

Chu vi \({H_n}\) bằng \({5^n}.4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n}\).

\({p_n} = {5^n}.4.\frac{1}{{{3^n}}} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n},n = 1,2,3,...\)

\(\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right)\)

Vì \(\lim \frac{1}{{4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{4}.\lim {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} = 0\) và \(4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n} > 0\) với mọi \(n\) nên \(\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right) = + \infty \).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.1 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 4 trang 70 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
Bài 3 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,444...\) dưới dạng một phân số.
Bài 2 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
Bài 1 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tìm các giới hạn sau:
Giải mục 4 trang 68 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu ({u_n}) (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ (n).
Giải mục 3 trang 67, 68 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).
Giải mục 2 trang 66 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Ở trên ta đã biết \(\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2}}} = 3\).
Giải mục 1 trang 64, 65 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với .({u_n} = frac{{{{left( { - 1} right)}^n}}}{n}).
Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
1, Giới hạn hữu hạn của dãy số