Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo


Cho tứ diện đều (ABCD) cạnh (a). Gọi (K) là trung điểm của (CD).

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AK\) và \(BC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).

Lời giải chi tiết

 

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\).

Ta có: \(I\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\)

\(K\) là trung điểm của \(CD\)

\( \Rightarrow IK\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\)

\( \Rightarrow IK\parallel BC \Rightarrow \left( {AK,BC} \right) = \left( {AK,IK} \right) = \widehat {AKI}\)

\(IK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)

\(AI\) là trung tuyến của tam giác \(AB{\rm{D}}\)\( \Rightarrow AI = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}} \right) - B{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(AK\) là trung tuyến của tam giác \(AC{\rm{D}}\)\( \Rightarrow AK = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + A{{\rm{D}}^2}} \right) - C{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác \(AIK\) có:

\(\cos \widehat {AKI} = \frac{{A{K^2} + I{K^2} - A{I^2}}}{{2.AK.IK}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \widehat {AKI} \approx {73^ \circ }13'\)

Vậy \(\left( {AK,BC} \right) \approx {73^ \circ }13'\).


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí