Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện đều (ABCD). Chứng minh rằng (AB bot CD).

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC,A{\rm{D}}\).

\(M\) là trung điểm của \(AC\)

\(N\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

\(M\) là trung điểm của \(AC\)

\(P\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow MP\parallel C{\rm{D,MP}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = \frac{a}{2}\)

Ta có: \(MN\parallel AB,MP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}\)

Ta có: \(BP\) là trung tuyến của tam giác \(ABD\)\( \Rightarrow BP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(CP\) là trung tuyến của tam giác \(ACD\)\( \Rightarrow CP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(NP\) là trung tuyến của tam giác \(BCP\)\( \Rightarrow NP = \frac{{\sqrt {2\left( {B{P^2} + C{{\rm{P}}^2}} \right) - B{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác \(MNP\) có:

\(\cos \widehat {NMP} = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2.MN.MP}} = 0 \Rightarrow \widehat {NMP} = {90^ \circ }\)

Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {90^ \circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.1 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABC) có (SA = SB = SC = a,widehat {BSA} = widehat {CSA} = {60^ circ },) (widehat {BSC} = {90^ circ }).
Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện đều (ABCD) cạnh (a). Gọi (K) là trung điểm của (CD).
Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện (ABCD). Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (BC) và (A{rm{D}}).
Bài 6 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều (ABCDEF) song song với mặt bàn và có cạnh (AB) song song với cạnh bàn (a) (Hình 5).
Bài 1 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình thoi (ABCD) cạnh (a). Cho biết (SA = asqrt 3 ,SA bot AB) và (SA bot A{rm{D}}).
Giải mục 2 trang 55 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hình hộp (ABCD.A'B'C'D') có 6 mặt đều là hình vuông
Giải mục 1 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng chéo nhau (a) và (b) trong không gian. Qua một điểm (M)
Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b), là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.