Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao


Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Đề bài

Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chia tứ giác ABCD thành 4 tam giác nhỏ để tính diện tích mỗi tam giác đó.

- Cộng các kết quả với nhau suy ra đpcm.

Sử dụng công thức diện tích tam giác \[S = \frac{1}{2}ab\sin C\]

Lời giải chi tiết

 

 

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\) và \(\widehat {AIB} = \alpha \).

Ta có \({S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \)

\({S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} - \alpha ) \)

\(= {1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \)

(hai góc bù nhau có sin bằng nhau)

Suy ra \({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} \)

\( = \frac{1}{2}AI.BI.\sin \alpha  + \frac{1}{2}AI.DI.\sin \alpha \)

\(= {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha  \)

\(= {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \)

Tương tự ta suy ra:

\({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}}\)\( = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \)

Do đó,

\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}}\)

\( = \frac{1}{2}AI.BD.\sin \alpha  + \frac{1}{2}CI.BD.\sin \alpha \)

\(= {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha  \)

\(= {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 14 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua