Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo Bài 1. Dãy số Toán 11 Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo


Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \).

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm \({y_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) hoặc xét thương \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}}\) nếu các số hạng của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là số dương.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} > 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} > 1\) thì \({y_{n + 1}} > {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} < 1\) thì \({y_{n + 1}} < {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1}  - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{y_{n + 1}} - {y_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right) - \left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  - \sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} }}{{\left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}} = \frac{{\sqrt n  - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}\end{array}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  \Leftrightarrow \sqrt n  - \sqrt {n + 2}  < 0\\\sqrt {n + 2}  > 0,\sqrt {n + 1}  > 0,\sqrt n  > 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right) > 0\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt n  - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}} < 0\end{array}\)

Vậy \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0 \Leftrightarrow {y_{n + 1}} < {y_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Cách 2:

Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1}  - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(\begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  \Leftrightarrow \sqrt {n + 1}  + \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} \Leftrightarrow {y_n} > {y_{n + 1}}\end{array}\)

Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.


Bình chọn:
4 trên 9 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store