Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập cuối năm Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 25 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức


Tính các giới hạn sau:

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 + 3 + 5 +  \cdots  + (2n - 1)}}{{{n^2} + 2n + 3}}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} +  \cdots  + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right)\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 4}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x + 1}  + 2x} \right)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng các quy tắc, một số giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn

- Tổng cấp số cộng \({S_n} = \frac{{{u_1} + {u_n}}}{2}.n\)

- Tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có 1, 3, 5,…, 2n – 1 là cấp số cộng gồm \(\frac{{2n - 1 - 1}}{2} + 1 = n\) số hạng

Do đó

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 + 3 + 5 +  \cdots  + (2n - 1)}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\frac{{1 + 2n - 1}}{2}.n}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = 1\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} +  \cdots  + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right)\)

Ta có \(1,\frac{2}{3},\frac{4}{9}, \cdots ,\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}\) là cấp số nhân có \({u_1} = 1,q = \frac{2}{3}\)  và gồm n + 1 số hạng nên

 \(1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} +  \cdots  + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}} = 3 - 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n + 1}}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} +  \cdots  + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {3 - 3.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n + 1}}} \right] = 3 - 3.0 = 3\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{2.\left( { - 2} \right) - 1}}{{ - 2 - 2}} = 2\)

d)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x + 1}  + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4{x^2} + x + 1 - 4{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + x + 1}  - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + x + 1}  - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 2}} = \frac{{1 + 0}}{{ - \sqrt {4 + 0 + 0}  - 2}} = \frac{{ - 1}}{4}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store