Bài 32 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức>
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết (SA bot (ABCD)) và (SA = asqrt 2 ).
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 2 \). Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.
a) Chứng minh rằng \(AE \bot (SBC)\).
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
- Tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(BD \bot AC,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right);SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\)
Trong (ABCD) qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD lần lượt tại K, H
\( \Rightarrow HK \bot SC \Rightarrow H,K \in \left( P \right)\)
Trong (SAC) qua A kẻ đường thẳng vuông góc với SC
Mà \((P)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng SC cắt các cạnh SC tại M nên \(AM \bot SC\)
Do đó mặt phẳng (P) là (MHK) mà \((P)\) cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại E, F nên:
trong (SBC) có SB cắt MK tại E, trong (SCD) có SD cắt MH tại F
Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right);AE \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE\)
Mà \(AE \bot SC\left( {SC \bot \left( P \right)} \right) \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)\)
b) Ta có \(CD \bot AD,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right);AF \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AF\)
Mà \(AF \bot SC\left( {SC \bot \left( P \right)} \right) \Rightarrow AF \bot \left( {SBC} \right)\)
Xét tam giác SAB vuông tại A có
+) \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)
+) \(S{A^2} = SE.SB \Rightarrow SE = \frac{{S{A^2}}}{{SB}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Xét tam giác SBC vuông tại B có
\(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a\)
Xét tam giác SAD vuông tại A có
+) \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)
+) \(S{A^2} = SF.SD \Rightarrow SF = \frac{{S{A^2}}}{{SD}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Xét tam giác SAC vuông tại A có \(S{A^2} = SM.SC \Rightarrow SM = \frac{{S{A^2}}}{{SC}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2a}} = a\)
Ta có \(\frac{{{V_{S.AEM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{a\sqrt 3 }}.\frac{a}{{2a}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.AEM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}}\)
\(\frac{{{V_{S.AFM}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SF}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{a\sqrt 3 }}.\frac{a}{{2a}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.AFM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ADC}}\)
Thể tích khối chóp S.ABCD là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Thể tích hình chóp S.AEMF là
\({V_{S.AEMF}} = {V_{S.AEM}} + {V_{S.AFM}} = \frac{1}{3}\left( {{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}} \right) = \frac{1}{3}.{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\)
- Bài 33 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 34 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 35 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 36 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 37 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công thức cộng xác suất - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công thức cộng xác suất - Toán 11 Kết nối tri thức