Giải bài 36 trang 71 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho phương trình dao động \(x\left( t \right) = 10{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right)\), ở đây li độ \(x\) tính bằng centimét và thời gian \(t\) tính bằng giây.

Đề bài

Cho phương trình dao động \(x\left( t \right) = 10{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right)\), ở đây li độ \(x\) tính bằng centimét và thời gian \(t\) tính bằng giây.

a) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có li độ lớn nhất.

b) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có vận tốc bằng 0.

c) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có gia tốc bằng 0.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất \({\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)

a) Vật có li độ lớn nhất khi \(10{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 10 \Rightarrow t\)(\(t \ge 0\))

b) Ta có vận tốc \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - 4\pi {\rm{sin}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Vận tốc bằng 0 tức là \( - 4\pi {\rm{sin}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Rightarrow t\) \(t \ge 0\)

c) Ta có gia tốc a \(\left( t \right) = x''\left( t \right) = - \frac{{8{\pi ^2}}}{5}{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Gia tốc bằng 0 tức là \( - \frac{{8{\pi ^2}}}{5}{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Rightarrow t\) \(\left( {t \ge 0} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Vật có li độ lớn nhất khi \(10{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 10 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 5}}{6} + 5k,k \in \mathbb{Z}\).

Do \(t \ge 0\) nên thời điểm đầu tiên vật có li độ lớn nhất tương ứng với \(k = 1\), tức là tại thời điểm \(t = \frac{{ - 5}}{6} + 5 = \frac{{25}}{6}\) (giây).

b) Ta có vận tốc \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - 4\pi {\rm{sin}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Vận tốc bằng 0 tức là \( - 4\pi {\rm{sin}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{6} + \frac{5}{2}k,k \in \mathbb{Z}\).

Do \(t \ge 0\) nên thời điểm đầu tiên vật có vận tốc bằng 0 tương ứng với \(k = 1\), tức là tại thời điểm \(t = \frac{{ - 5}}{6} + \frac{5}{2} = \frac{5}{3}\) (giây).

c) Ta có gia tốc a \(\left( t \right) = x''\left( t \right) = - \frac{{8{\pi ^2}}}{5}{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Gia tốc bằng 0 tức là \( - \frac{{8{\pi ^2}}}{5}{\rm{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{5}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{{12}} + \frac{5}{2}k,k \in \mathbb{Z}\).

Do \(t \ge 0\) nên thời điểm đầu tiên vật có gia tốc bằng 0 tương ứng với \(k = 1\), tức là tại thời điểm \(t = \frac{5}{{12}} + \frac{5}{2} = \frac{{35}}{{12}}\) (giây).