Giải bài 30 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Tính các giới hạn sau:

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2{x^2} - x - 10}}{{x + 2}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + x + 1} - x}}{{2x + 1}}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{2}{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {5^ - }} \frac{{2x}}{{x + 5}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dạng 1 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) có dạng \(\frac{0}{0}\)

Cách 1 : Phân tích f(x) và g(x) để tạo ra thừa số chung (x – x₀) rồi rút gọn

Cách 2 : Nhân tử và mẫu với lượng liên hợp rồi tiếp tục để tạo thừa số chung (x – x₀) rồi rút gọn.

Dạng2 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\)

Cách giải : Tương tự như cách tính giới hạn của dãy số

Dạng3 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) có dạng \(\frac{C}{0}\) , C là hằng số

Cách giải : Sử dụng một trong 4 quy tắc sau tìm giới hạn vô cực của hàm số dạng thương sau đây :

1) \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} f(x) = C > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} g(x) = 0\\g(x) > 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)

2) \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} f(x) = C < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} g(x) = 0\\g(x) < 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)

3) \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} f(x) = C > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} g(x) = 0\\g(x) < 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)

4) \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} f(x) = C < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} g(x) = 0\\g(x) > 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_{{0^ \pm }}}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)

Lời giải chi tiết

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2{x^2} - x - 10}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 5} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {2x - 5} \right) = - 9\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + x + 1} - x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} = - \frac{3}{2}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{2}{{{{(x - 2)}^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 4}}{{{{(x - 2)}^2}}} = - \infty \)

(do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 4} \right) = - 2 < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {(x - 2)^2} = 0,{(x - 2)^2} > 0,\forall x \ne 2\) ).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {5^ - }} \frac{{2x}}{{x + 5}} = + \infty \)

(do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {5^ - }} 2x = - 10 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {5^ - }} \left( {x + 5} \right) = 0\) và \(x + 5 < 0,\forall x < - 5\) ).