SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 11 KNTT

Giải bài 43 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,AA' = 2a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BB'\) và \(CC'\).

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,AA' = 2a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BB'\) và \(CC'\).

a) Tính theo a thể tích khối tứ diện \(AA'MN\).

b) Tính côsin góc nhị diện \(\left[ {A,MN,A'} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nhận xét \({S_{{\rm{AA'MN}}}} = \frac{1}{2}{S_{ABB'A'}} = {a^{}}\)và \(CC'\) song song với \(\left( {ABB'A'} \right)\) nên \({\rm{d}}\left( {N,\left( {AA'M} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tính thể tích khối  chóp \(AA'MN\) bằng \(\frac{1}{3} \cdot {S_{AA'M}} \cdot d\left( {N,\left( {AA'M} \right)} \right)\)

b. Gọi là trung điểm của \(MN\) thì\(\;AI\; \bot MN,A'I \bot MN \Rightarrow \left[ {A,MN,A'} \right] = \widehat {AIA'}\)

Tính \(AI,A'I\)

Áp dụng định lí côsin áp dụng cho tam giác \(AA'I\), ta có:\(\cos \widehat {AIA'} = \frac{{A{I^2} + A'{I^2} - A{A^{'2}}}}{{2 \cdot AI \cdot A'I}}\).

Lời giải chi tiết

Ta có \({S_{{\rm{AA'MN}}}} = \frac{1}{2}{S_{ABB'A'}} = {a^{}}\)và \(CC'\) song song với \(\left( {ABB'A'} \right)\) nên \({\rm{d}}\left( {N,\left( {AA'M} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Thể tích khối  chóp \(AA'MN\) bằng \(\frac{1}{3} \cdot {S_{AA'M}} \cdot d\left( {N,\left( {AA'M} \right)} \right) = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

b. Gọi là trung điểm của \(MN\) thì\(\;AI\; \bot MN,A'I \bot MN \Rightarrow \left[ {A,MN,A'} \right] = \widehat {AIA'}\)

\(AI = A'I = \sqrt {A{M^2} - M{I^2}}  = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} - M{I^2}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\)

Theo đinh lí côsin áp dụng cho tam giác \(AA'I\), ta có:

\(\cos \widehat {AIA'} = \frac{{A{I^2} + A'{I^2} - A{A^{'2}}}}{{2 \cdot AI \cdot A'I}} = \frac{{ - 1}}{7}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store