SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 11 KNTT

Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Giả sử ({u_n}) là số hạng thứ (n) của dãy số (left( {{u_n}} right)) và ({u_n} = frac{{{{left( {1 + sqrt 5 } right)}^n} - {{left( {1 - sqrt 5 } right)}^n}}}{{{2^n}sqrt 5 }}).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Giả sử \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \({u_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}\).

a) Chứng tỏ rằng \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Từ đó suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) đầu tiên.

Tinh \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta có \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \({a^{n + 2}} - {b^{n + 2}} = \left( {{a^{n + 1}} - {b^{n + 1}}} \right)\left( {a + b} \right) - ab\left( {{a^n} - {b^n}} \right)\)

Ta có \({u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5  + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b) Lập bảng

 \(n\)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 \({u_n}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Thay \(=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n+1}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n+1}}}{{{(1+\sqrt{5})}^{n}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{5}-\left( 1-\sqrt{5} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}{1-{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

Lời giải chi tiết

. a) Ta có \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 2}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5  + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b)

 \(n\)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 \({u_n}\)

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

 \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

1

2

1,5

 \(\frac{5}{3}\)

 \(\frac{8}{5}\)

 \(\frac{{13}}{8}\)

 \(\frac{{21}}{{13}}\)

 \(\frac{{34}}{{21}}\)

 \(\frac{{55}}{{34}}\)

 \(\frac{{89}}{{55}}\)

\(\frac{{144}}{{89}}\)

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n+1}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n+1}}}{{{2}^{n+1}}\sqrt{5}}:\frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n}}}{{{2}^{n}}\sqrt{5}}$

\(=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n+1}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n+1}}}{{{(1+\sqrt{5})}^{n}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{5}-\left( 1-\sqrt{5} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}{1-{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

(do $\left| \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right|<1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}=0$ ).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store