Dạng bài tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức - Ôn hè Toán 7 lên 8>
Tải vềDạng 7. Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
Lý thuyết
Đánh giá biểu thức A:
+ Nếu \(A \ge a\) (với a là số đã biết) thì giá trị nhỏ nhất của A là a.
+ Nếu \(A \le b\) (với b là số đã biết) thì giá trị lớn nhất của A là b.
* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa luỹ thừa chẵn
Biểu thức \({a^n}\) với n là số chẵn (2;4;6;…) thì \({a^n} \ge 0\) với mọi giá trị của a.
* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn bậc hai
Sử dụng kiến thức của căn bậc hai:
\(\sqrt a \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\); \( - \sqrt a \le 0\) với mọi \(a \ge 0\).
* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Dựa vào tính chất \(\left| x \right| \ge 0\).
+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng \(A \ge a\) (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a.
+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng \(A \le b\) (với b là số đã biết) để suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
- Nếu biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong giá trị tuyệt đối, ta dùng tính chất: Với mọi \(x,y \in \mathbb{Q}\), ta có:
\(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\); \(\left| {x - y} \right| \ge \left| x \right| - \left| y \right|\).
Chú ý:
+ Ta có: \(\left| {kx} \right| \ge 0\) thì: \(\left| {kx} \right| + a \ge a\); \( - \left| {kx} \right| + a \le a\)
Dấu “=” xảy ra khi \(kx = 0\).
+ Ta có: \(\left| {kx + b} \right| \ge 0\) thì \(\left| {kx + b} \right| + a \ge a\); \( - \left| {kx + b} \right| + a \le a\)
Dấu “=” xảy ra khi \(kx + b = 0\).
+ Ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)
Dấu “=” xảy ra khi \(ab \ge 0\).
Bài tập
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) \(A = \frac{2}{{\sqrt x + 3}}\).
b) \(A = \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).
Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\).
b) \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).
Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)
b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)
Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) \(A = 8 - 6\left| {x - 2} \right|\)
b) \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}}\)
Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{2} + \sqrt x \).
Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = - \sqrt {{x^2} + 36} + 2025\).
Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 3\sqrt x - 2025\) với \(x \ge 0\).
Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} + 169} - 2025\).
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right|\).
Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2\)
A. 0.
B. -2.
C. 2.
D. 3.
Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1\)
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. -1.
Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(C = 10 - \sqrt x - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2}\) với \(x \ge 0\) là:
A. 10.
B. 11.
C. 1.
D.-10.
--------Hết--------
Lời giải chi tiết:
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) \(A = \frac{2}{{\sqrt x + 3}}\).
b) \(A = \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).
Phương pháp
Sử dụng kiến thức \(\sqrt a \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).
Đánh giá biểu thức \(A \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của A là k.
Lời giải
a) Vì \(\sqrt x \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 \ge 0 + 3 = 3\) với mọi \(x \ge 0\)
Do đó \(\frac{2}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{2}{3}\) với mọi \(x \ge 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = 0\) hay \(x = 0\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{2}{3}\) khi \(x = 0\).
b) Vì \(\sqrt x \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 2 \ge 0 + 2 = 2\) với mọi \(x \ge 0\)
Do đó \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}\) với mọi \(x \ge 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = 0\) hay \(x = 0\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{5}{2}\) khi \(x = 0\).
Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\).
b) \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).
Phương pháp
- Sử dụng kiến thức \( - \sqrt a \le 0\) với mọi \(a \ge 0\).
- Nếu \(a \ge b\) thì \(\frac{k}{a} \le \frac{k}{b}\) với mọi \(k \ge 0\).
Đánh giá biểu thức \(D \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của D là k.
Lời giải
a) Vì \( - \sqrt x \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - 2 - \sqrt x \le - 2\) với mọi \(x \ge 0\).
Do đó \(\frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }} \ge \frac{3}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{2}\) với mọi \(x \ge 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = 0\) hay \(x = 0\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\) là \(\frac{{ - 3}}{2}\) khi \(x = 0\).
b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).
b) Vì \( - \sqrt x \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - 3 - \sqrt x \le - 3\) với mọi \(x \ge 0\).
Do đó \(\frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }} \ge \frac{6}{{ - 3}} = - 2\) với mọi \(x \ge 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = 0\) hay \(x = 0\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\) là \( - 2\) khi \(x = 0\).
Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)
b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)
Phương pháp
Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\); \({a^2} \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\).
Lời giải
a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)
Ta có: \(\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).
Do đó \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \ge \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}\) với mọi \(x\).
Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của A, khi đó \(\left| {x - \frac{1}{2}} \right| = 0\) hay \(x - \frac{1}{2} = 0\), suy ra \(x = \frac{1}{2}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{1}{2}\) khi \(x = \frac{1}{2}\).
b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)
Ta có: \({x^2} \ge 0\), \(\left| {y - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).
Do đó \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5 \ge 0 + 0 - 5 = - 5\)
Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của B, khi đó \({x^2} = 0\) và \(\left| {y - 2} \right| = 0\)
Suy ra \(x = 0\) và \(y - 2 = 0\) nên \(y = 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là \( - 5\) khi \(x = 0;y = 2\).
Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) \(A = 8 - 6\left| {x - 2} \right|\)
b) \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}}\)
Phương pháp
- Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\).
- Nếu \(a \ge b\) thì \(\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}\).
Lời giải
a) Ta có: \(\left| {x - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).
Suy ra \( - 6\left| {x - 2} \right| \le 0\) với mọi \(x\).
Do đó \(8 - 6\left| {x - 2} \right| \le 8\) với mọi \(x\).
Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của A, khi đó \(\left| {x - 2} \right| = 0\), do đó \(x - 2 = 0\), suy ra \(x = 2\).
Vậy giá trị lớn nhất của A là 8 khi \(x = 2\).
b) Ta có: \(\left| {x - 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).
Do đó \(2\left| {x - 1} \right| \ge 0\), suy ra \(2\left| {x - 1} \right| + 3 \ge 3\) với mọi \(x\).
Suy ra \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}} \le \frac{1}{3}\) với mọi \(x\).
Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của B, khi đó \(\left| {x - 1} \right| = 0\), do đó \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của B là \(\frac{1}{3}\) khi \(x = 1\).
Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{2} + \sqrt x \).
Phương pháp
Sử dụng kiến thức \(\sqrt a \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).
Đánh giá biểu thức \(P \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của P là k.
Lời giải
Ta có: \(\sqrt x \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).
Suy ra \(\frac{1}{2} + \sqrt x \ge \frac{1}{2}\).
Dấu “=” xảy ra, tức là \(P = \frac{1}{2}\) là giá trị nhỏ nhất của P khi \(\sqrt x = 0\) suy ra \(x = 0\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{1}{2}\) khi \(x = 0\).
Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = - \sqrt {{x^2} + 36} + 2025\).
Phương pháp
Sử dụng kiến thức \(\sqrt a \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).
Đánh giá biểu thức \(A \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của A là k.
Lời giải
Ta có: \({x^2} \ge 0\) với mọi số thực \(x\) nên \({x^2} + 36 \ge 36\) với mọi số thực \(x\).
Suy ra \(\sqrt {{x^2} + 49} \ge \sqrt {49} = 7\) với mọi số thực \(x\).
Suy ra \(A = - \sqrt {{x^2} + 49} + 2025 \le - 7 + 2025 = 2018\) hay \(A \le 2018\) với mọi số thực \(x\).
Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0\) suy ra \(x = 0\).
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2018 khi \(x = 0\).
Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 3\sqrt x - 2025\) với \(x \ge 0\).
Phương pháp
Sử dụng kiến thức \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(\sqrt x \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).
Đánh giá các số hạng của tổng để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\).
Lời giải
Ta có: \({x^2} \ge 0;\sqrt x \ge 0\) với mọi số thực \(x \ge 0\), suy ra \({x^2} + 3\sqrt x \ge 0\) với mọi số thực \(x \ge 0\).
Suy ra \({x^2} + 3\sqrt x - 2025 \ge - 2025\) với mọi số thực \(x \ge 0\).
Do đó \(A \ge - 2025\) với mọi số thực \(x \ge 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0;\sqrt x = 0\), suy ra \(x = 0\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -2025 khi \(x = 0\).
Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} + 169} - 2025\).
Phương pháp
Sử dụng kiến thức \(\sqrt a \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).
Đánh giá biểu thức \(M \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của M là k.
Lời giải
Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \({x^2} + 169 \ge 169\), suy ra \(\sqrt {{x^2} + 169} \ge \sqrt {169} = 13\).
Do đó \(\sqrt {{x^2} + 169} - 2025 \ge 13 - 2025 = - 2012\).
Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0\), suy ra \(x = 0\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2012 khi \(x = 0\).
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right|\).
Phương pháp
Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)
Dấu “=” xảy ra khi \(ab \ge 0\).
Đánh giá biểu thức \(C \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của C là k.
Lời giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right| = \left| {3x - 5} \right| + \left| {9 - 3x} \right|\\ \ge \left| {3x - 5 + 9 - 3x} \right| = \left| 4 \right| = 4\end{array}\)
Do đó \(C \ge 4\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left( {3x - 5} \right).\left( {9 - 3x} \right) \ge 0\)
Ta có 2 trường hợp:
TH1: \(3x - 5 \ge 0\) và \(9 - 3x \ge 0\)
Suy ra \(x \ge \frac{5}{3}\) và \(x \le 3\) hay \(\frac{5}{3} \le x \le 3\).
TH2: \(3x - 5 \le 0\) và \(9 - 3x \le 0\)
Suy ra \(x \le \frac{5}{3}\) và \(x \ge 3\) (loại do không có giá trị nào của \(x\) thoả mãn).
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi \(\frac{5}{3} \le x \le 3\).
Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2\)
A. 0.
B. -2.
C. 2.
D. 3.
Phương pháp
Đánh giá biểu thức \(A \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của A là k.
Sử dụng kiến thức: \(|a| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\);
\({b^2} \ge 0,{b^4} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)
Lời giải
Vì \(\left| { - x - 3} \right| \ge 0;{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {x + 3} \right)^4} \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\);
\(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2 \ge 0 + 0 + 0 + 2 = 2\)
Dấu “ = “ xảy ra khi –x – 3 = 0 ; y – 1 = 0 ; x + 3 = 0
suy ra \(x = {\rm{\;}} - 3;y = 1\)
Vậy min A = 2 khi x = -3; y = 1
Đáp án: C
Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1\)
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. -1.
Phương pháp
Đánh giá biểu thức \(P \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của P là k.
Sử dụng kiến thức: \(|a| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\); \({b^2} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)
Lời giải
Ta có: \({\left( {{x^2} - 4} \right)^2} \ge 0\); \(\left| {y - 5} \right| \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\) nên \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1 \ge 0 + 0 - 1 = - 1\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).
Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} - 4 = 0\) và \(y - 5 = 0\)
* \({x^2} - 4 = 0\)
\({x^2} = 4\)
\(x = 2\) hoặc \(x = - 2\)
* \(y - 5 = 0\)
\(y = 5\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -1 khi \(x \in \left\{ {2; - 2} \right\}\) và \(y = 5\).
Đáp án: D
Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(C = 10 - \sqrt x - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2}\) với \(x \ge 0\) là:
A. 10.
B. 11.
C. 1.
D. -10.
Phương pháp
Đánh giá biểu thức \(C \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của C là k.
Sử dụng kiến thức: \(\sqrt a \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\); \({b^2} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)
Dẫn đến \( - \sqrt a \le 0\) với mọi \(a \ge 0\); \( - {b^2} \le 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)
Lời giải
Ta có: \(\sqrt x \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\), \({\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,y\).
Suy ra \( - \sqrt x \le 0\) với mọi \(x \ge 0\), \( - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x,y\).
Do đó \( - \sqrt x - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0,y \in \mathbb{R}\).
Suy ra \(C = 10 - \sqrt x - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 10 + 0 = 10\) với mọi \(x \ge 0,y \in \mathbb{R}\).
Giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi \(\sqrt x = 0\) và \({\left( {x - 2y + 1} \right)^2} = 0\)
Suy ra \(x = 0\) và \({\left( {0 - 2y + 1} \right)^2} = 0\)
\({\left( {1 - 2y} \right)^2} = 0\)
\(1 - 2y = 0\)
\(2y = 1\)
\(y = \frac{1}{2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi \(x = 0;y = \frac{1}{2}\).
Đáp án: A


- Dạng bài toán thực tế - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài tính giá trị của biểu thức - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài tìm giá trị chưa biết - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài làm tròn số - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài so sánh các số thực - Ôn hè Toán 7 lên 8
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục
- Dạng bài xác suất của biến cố ngẫu nhiên, biến cố đồng khả năng - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài xác suất của biến cố chắc chắn, không thể - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài biến cố trong một số trò chơi đơn giản - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài xác định loại biến cố - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Đề ôn hè Toán 7 lên 8 - Đề 7
- Dạng bài xác suất của biến cố ngẫu nhiên, biến cố đồng khả năng - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài xác suất của biến cố chắc chắn, không thể - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài biến cố trong một số trò chơi đơn giản - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Dạng bài xác định loại biến cố - Ôn hè Toán 7 lên 8
- Đề ôn hè Toán 7 lên 8 - Đề 7