Dạng bài tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

Lý thuyết

Đánh giá biểu thức A:

+ Nếu \(A \ge a\) (với a là số đã biết) thì giá trị nhỏ nhất của A là a.

+ Nếu \(A \le b\) (với b là số đã biết) thì giá trị lớn nhất của A là b.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa luỹ thừa chẵn

Biểu thức \({a^n}\) với n là số chẵn (2;4;6;…) thì \({a^n} \ge 0\) với mọi giá trị của a.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn bậc hai

Sử dụng kiến thức của căn bậc hai:

\(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\); \( - \sqrt a  \le 0\) với mọi \(a \ge 0\).

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Dựa vào tính chất \(\left| x \right| \ge 0\).

+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng \(A \ge a\) (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a.

+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng \(A \le b\) (với b là số đã biết) để suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

- Nếu biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong giá trị tuyệt đối, ta dùng tính chất: Với mọi \(x,y \in \mathbb{Q}\), ta có:

\(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\); \(\left| {x - y} \right| \ge \left| x \right| - \left| y \right|\).

Chú ý:

+ Ta có: \(\left| {kx} \right| \ge 0\) thì: \(\left| {kx} \right| + a \ge a\); \( - \left| {kx} \right| + a \le a\)

Dấu “=” xảy ra khi \(kx = 0\).

+ Ta có: \(\left| {kx + b} \right| \ge 0\) thì \(\left| {kx + b} \right| + a \ge a\); \( - \left| {kx + b} \right| + a \le a\)

Dấu “=” xảy ra khi \(kx + b = 0\).

+ Ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu “=” xảy ra khi \(ab \ge 0\).        

Bài tập

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\).

b) \(A = \frac{5}{{\sqrt x  + 2}}\).

Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\).

b) \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).

Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)

b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = 8 - 6\left| {x - 2} \right|\)

b) \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}}\)

Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{2} + \sqrt x \).

Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(A =  - \sqrt {{x^2} + 36}  + 2025\).

Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 3\sqrt x  - 2025\) với \(x \ge 0\).

Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} + 169}  - 2025\).

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right|\).

Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2\)

A. 0.

B. -2.

C. 2.

D. 3.

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1\)

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(C = 10 - \sqrt x  - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2}\) với \(x \ge 0\) là:

A. 10.

B. 11.

C. 1.

D.-10.

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\).

b) \(A = \frac{5}{{\sqrt x  + 2}}\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(A \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của A là k.

Lời giải

a) Vì \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 3 \ge 0 + 3 = 3\) với mọi \(x \ge 0\)

Do đó \(\frac{2}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{2}{3}\) với mọi \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = 0\) hay \(x = 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{2}{3}\) khi \(x = 0\).

b) Vì \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 2 \ge 0 + 2 = 2\) với mọi \(x \ge 0\)

Do đó \(\frac{5}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{5}{2}\) với mọi \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = 0\) hay \(x = 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{5}{2}\) khi \(x = 0\).

Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\).

b) \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức \( - \sqrt a  \le 0\) với mọi \(a \ge 0\).

- Nếu \(a \ge b\) thì \(\frac{k}{a} \le \frac{k}{b}\) với mọi \(k \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(D \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của D là k.

Lời giải

a) Vì \( - \sqrt x  \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - 2 - \sqrt x  \le  - 2\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó \(\frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }} \ge \frac{3}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{2}\) với mọi \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\) là \(\frac{{ - 3}}{2}\) khi \(x = 0\).

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).

b) Vì \( - \sqrt x  \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - 3 - \sqrt x  \le  - 3\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó \(\frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }} \ge \frac{6}{{ - 3}} =  - 2\) với mọi \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\) là \( - 2\) khi \(x = 0\).

Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)

b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\); \({a^2} \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\).

Lời giải

a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)

Ta có: \(\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).

Do đó \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \ge \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}\) với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của A, khi đó \(\left| {x - \frac{1}{2}} \right| = 0\) hay \(x - \frac{1}{2} = 0\), suy ra \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{1}{2}\) khi \(x = \frac{1}{2}\).

b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)

Ta có: \({x^2} \ge 0\), \(\left| {y - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).

Do đó \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5 \ge 0 + 0 - 5 =  - 5\)

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của B, khi đó \({x^2} = 0\) và \(\left| {y - 2} \right| = 0\)

Suy ra \(x = 0\) và \(y - 2 = 0\) nên \(y = 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là \( - 5\) khi \(x = 0;y = 2\).

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = 8 - 6\left| {x - 2} \right|\)

b) \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}}\)

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\).

- Nếu \(a \ge b\) thì \(\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}\).

Lời giải

a) Ta có: \(\left| {x - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).

Suy ra \( - 6\left| {x - 2} \right| \le 0\) với mọi \(x\).

Do đó \(8 - 6\left| {x - 2} \right| \le 8\) với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của A, khi đó \(\left| {x - 2} \right| = 0\), do đó \(x - 2 = 0\), suy ra \(x = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là 8 khi \(x = 2\).

b) Ta có: \(\left| {x - 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).

Do đó \(2\left| {x - 1} \right| \ge 0\), suy ra \(2\left| {x - 1} \right| + 3 \ge 3\) với mọi \(x\).

Suy ra \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}} \le \frac{1}{3}\) với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của B, khi đó \(\left| {x - 1} \right| = 0\), do đó \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của B là \(\frac{1}{3}\) khi \(x = 1\).

Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{2} + \sqrt x \).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(P \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của P là k.

Lời giải

Ta có: \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).

Suy ra \(\frac{1}{2} + \sqrt x  \ge \frac{1}{2}\).

Dấu “=” xảy ra, tức là \(P = \frac{1}{2}\) là giá trị nhỏ nhất của P khi \(\sqrt x  = 0\) suy ra \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{1}{2}\) khi \(x = 0\).

Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(A =  - \sqrt {{x^2} + 36}  + 2025\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(A \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của A là k.

Lời giải

Ta có: \({x^2} \ge 0\) với mọi số thực \(x\) nên \({x^2} + 36 \ge 36\) với mọi số thực \(x\).

Suy ra \(\sqrt {{x^2} + 49}  \ge \sqrt {49}  = 7\) với mọi số thực \(x\).

Suy ra \(A =  - \sqrt {{x^2} + 49}  + 2025 \le  - 7 + 2025 = 2018\) hay \(A \le 2018\) với mọi số thực \(x\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0\) suy ra \(x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2018 khi \(x = 0\).

Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 3\sqrt x  - 2025\) với \(x \ge 0\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).

Đánh giá các số hạng của tổng để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} \ge 0;\sqrt x  \ge 0\) với mọi số thực \(x \ge 0\), suy ra \({x^2} + 3\sqrt x  \ge 0\) với mọi số thực \(x \ge 0\).

Suy ra \({x^2} + 3\sqrt x  - 2025 \ge  - 2025\) với mọi số thực \(x \ge 0\).

Do đó \(A \ge  - 2025\) với mọi số thực \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0;\sqrt x  = 0\), suy ra \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -2025 khi \(x = 0\).

Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} + 169}  - 2025\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(M \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của M là k.

Lời giải

Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \({x^2} + 169 \ge 169\), suy ra \(\sqrt {{x^2} + 169}  \ge \sqrt {169}  = 13\).

Do đó \(\sqrt {{x^2} + 169}  - 2025 \ge 13 - 2025 =  - 2012\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0\), suy ra \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2012 khi \(x = 0\).

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right|\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu “=” xảy ra khi \(ab \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(C \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của C là k.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right| = \left| {3x - 5} \right| + \left| {9 - 3x} \right|\\ \ge \left| {3x - 5 + 9 - 3x} \right| = \left| 4 \right| = 4\end{array}\)

Do đó \(C \ge 4\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left( {3x - 5} \right).\left( {9 - 3x} \right) \ge 0\)

Ta có 2 trường hợp:

TH1: \(3x - 5 \ge 0\) và \(9 - 3x \ge 0\)

Suy ra \(x \ge \frac{5}{3}\) và \(x \le 3\) hay \(\frac{5}{3} \le x \le 3\).

TH2: \(3x - 5 \le 0\) và \(9 - 3x \le 0\)

Suy ra \(x \le \frac{5}{3}\) và \(x \ge 3\) (loại do không có giá trị nào của \(x\) thoả mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi \(\frac{5}{3} \le x \le 3\).

Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2\)

A. 0.

B. -2.

C. 2.

D. 3.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức \(A \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của A là k.

Sử dụng kiến thức: \(|a| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\);

\({b^2} \ge 0,{b^4} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)

Lời giải

Vì \(\left| { - x - 3} \right| \ge 0;{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {x + 3} \right)^4} \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\);

\(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2 \ge 0 + 0 + 0 + 2 = 2\)

Dấu “ = “ xảy ra khi –x – 3 = 0 ; y – 1 = 0 ; x + 3 = 0

suy ra \(x = {\rm{\;}} - 3;y = 1\)

Vậy min A = 2 khi x  = -3; y = 1

Đáp án: C

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1\)

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức \(P \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của P là k.

Sử dụng kiến thức: \(|a| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\); \({b^2} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)

Lời giải

Ta có: \({\left( {{x^2} - 4} \right)^2} \ge 0\); \(\left| {y - 5} \right| \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\) nên \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1 \ge 0 + 0 - 1 =  - 1\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} - 4 = 0\) và \(y - 5 = 0\)

* \({x^2} - 4 = 0\)

\({x^2} = 4\)

\(x = 2\) hoặc \(x =  - 2\)

* \(y - 5 = 0\)

\(y = 5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -1 khi \(x \in \left\{ {2; - 2} \right\}\) và \(y = 5\).

Đáp án: D

Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(C = 10 - \sqrt x  - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2}\) với \(x \ge 0\) là:

A. 10.

B. 11.

C. 1.

D. -10.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức \(C \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của C là k.

Sử dụng kiến thức: \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\); \({b^2} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)

Dẫn đến \( - \sqrt a  \le 0\) với mọi \(a \ge 0\); \( - {b^2} \le 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)

Lời giải

Ta có: \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\), \({\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,y\).

Suy ra \( - \sqrt x  \le 0\) với mọi \(x \ge 0\), \( - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x,y\).

Do đó \( - \sqrt x  - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0,y \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(C = 10 - \sqrt x  - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 10 + 0 = 10\) với mọi \(x \ge 0,y \in \mathbb{R}\).

Giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi \(\sqrt x  = 0\) và \({\left( {x - 2y + 1} \right)^2} = 0\)

Suy ra \(x = 0\) và \({\left( {0 - 2y + 1} \right)^2} = 0\)

\({\left( {1 - 2y} \right)^2} = 0\)

\(1 - 2y = 0\)

\(2y = 1\)

\(y = \frac{1}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi \(x = 0;y = \frac{1}{2}\).

Đáp án: A