Dạng bài tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

Tải về

Dạng 7. Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Lý thuyết

Đánh giá biểu thức A:

+ Nếu \(A \ge a\) (với a là số đã biết) thì giá trị nhỏ nhất của A là a.

+ Nếu \(A \le b\) (với b là số đã biết) thì giá trị lớn nhất của A là b.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa luỹ thừa chẵn

Biểu thức \({a^n}\) với n là số chẵn (2;4;6;…) thì \({a^n} \ge 0\) với mọi giá trị của a.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn bậc hai

Sử dụng kiến thức của căn bậc hai:

\(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\); \( - \sqrt a  \le 0\) với mọi \(a \ge 0\).

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Dựa vào tính chất \(\left| x \right| \ge 0\).

+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng \(A \ge a\) (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a.

+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng \(A \le b\) (với b là số đã biết) để suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

- Nếu biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong giá trị tuyệt đối, ta dùng tính chất: Với mọi \(x,y \in \mathbb{Q}\), ta có:

\(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\); \(\left| {x - y} \right| \ge \left| x \right| - \left| y \right|\).

Chú ý:

+ Ta có: \(\left| {kx} \right| \ge 0\) thì: \(\left| {kx} \right| + a \ge a\); \( - \left| {kx} \right| + a \le a\)

Dấu “=” xảy ra khi \(kx = 0\).

+ Ta có: \(\left| {kx + b} \right| \ge 0\) thì \(\left| {kx + b} \right| + a \ge a\); \( - \left| {kx + b} \right| + a \le a\)

Dấu “=” xảy ra khi \(kx + b = 0\).

+ Ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu “=” xảy ra khi \(ab \ge 0\).        

Bài tập

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\).

b) \(A = \frac{5}{{\sqrt x  + 2}}\).

Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\).

b) \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).

Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)

b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = 8 - 6\left| {x - 2} \right|\)

b) \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}}\)

Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{2} + \sqrt x \).

Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(A =  - \sqrt {{x^2} + 36}  + 2025\).

Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 3\sqrt x  - 2025\) với \(x \ge 0\).

Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} + 169}  - 2025\).

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right|\).

Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2\)

A. 0.

B. -2.

C. 2.

D. 3.

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1\)

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(C = 10 - \sqrt x  - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2}\) với \(x \ge 0\) là:

A. 10.

B. 11.

C. 1.

D.-10.

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\).

b) \(A = \frac{5}{{\sqrt x  + 2}}\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(A \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của A là k.

Lời giải

a) Vì \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 3 \ge 0 + 3 = 3\) với mọi \(x \ge 0\)

Do đó \(\frac{2}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{2}{3}\) với mọi \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = 0\) hay \(x = 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{2}{3}\) khi \(x = 0\).

b) Vì \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 2 \ge 0 + 2 = 2\) với mọi \(x \ge 0\)

Do đó \(\frac{5}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{5}{2}\) với mọi \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = 0\) hay \(x = 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{5}{2}\) khi \(x = 0\).

Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\).

b) \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức \( - \sqrt a  \le 0\) với mọi \(a \ge 0\).

- Nếu \(a \ge b\) thì \(\frac{k}{a} \le \frac{k}{b}\) với mọi \(k \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(D \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của D là k.

Lời giải

a) Vì \( - \sqrt x  \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - 2 - \sqrt x  \le  - 2\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó \(\frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }} \ge \frac{3}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{2}\) với mọi \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{3}{{ - 2 - \sqrt x }}\) là \(\frac{{ - 3}}{2}\) khi \(x = 0\).

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\).

b) Vì \( - \sqrt x  \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - 3 - \sqrt x  \le  - 3\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó \(\frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }} \ge \frac{6}{{ - 3}} =  - 2\) với mọi \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{6}{{ - 3 - \sqrt x }}\) là \( - 2\) khi \(x = 0\).

Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)

b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\); \({a^2} \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\).

Lời giải

a) \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right|\)

Ta có: \(\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).

Do đó \(A = \frac{1}{2} + 2\left| {x - \frac{1}{2}} \right| \ge \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}\) với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của A, khi đó \(\left| {x - \frac{1}{2}} \right| = 0\) hay \(x - \frac{1}{2} = 0\), suy ra \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{1}{2}\) khi \(x = \frac{1}{2}\).

b) \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5\)

Ta có: \({x^2} \ge 0\), \(\left| {y - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).

Do đó \(B = {x^2} + \left| {y - 2} \right| - 5 \ge 0 + 0 - 5 =  - 5\)

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của B, khi đó \({x^2} = 0\) và \(\left| {y - 2} \right| = 0\)

Suy ra \(x = 0\) và \(y - 2 = 0\) nên \(y = 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là \( - 5\) khi \(x = 0;y = 2\).

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = 8 - 6\left| {x - 2} \right|\)

b) \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}}\)

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\).

- Nếu \(a \ge b\) thì \(\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}\).

Lời giải

a) Ta có: \(\left| {x - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).

Suy ra \( - 6\left| {x - 2} \right| \le 0\) với mọi \(x\).

Do đó \(8 - 6\left| {x - 2} \right| \le 8\) với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của A, khi đó \(\left| {x - 2} \right| = 0\), do đó \(x - 2 = 0\), suy ra \(x = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là 8 khi \(x = 2\).

b) Ta có: \(\left| {x - 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x\).

Do đó \(2\left| {x - 1} \right| \ge 0\), suy ra \(2\left| {x - 1} \right| + 3 \ge 3\) với mọi \(x\).

Suy ra \(B = \frac{1}{{2\left| {x - 1} \right| + 3}} \le \frac{1}{3}\) với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của B, khi đó \(\left| {x - 1} \right| = 0\), do đó \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của B là \(\frac{1}{3}\) khi \(x = 1\).

Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{2} + \sqrt x \).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(P \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của P là k.

Lời giải

Ta có: \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).

Suy ra \(\frac{1}{2} + \sqrt x  \ge \frac{1}{2}\).

Dấu “=” xảy ra, tức là \(P = \frac{1}{2}\) là giá trị nhỏ nhất của P khi \(\sqrt x  = 0\) suy ra \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{1}{2}\) khi \(x = 0\).

Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(A =  - \sqrt {{x^2} + 36}  + 2025\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(A \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của A là k.

Lời giải

Ta có: \({x^2} \ge 0\) với mọi số thực \(x\) nên \({x^2} + 36 \ge 36\) với mọi số thực \(x\).

Suy ra \(\sqrt {{x^2} + 49}  \ge \sqrt {49}  = 7\) với mọi số thực \(x\).

Suy ra \(A =  - \sqrt {{x^2} + 49}  + 2025 \le  - 7 + 2025 = 2018\) hay \(A \le 2018\) với mọi số thực \(x\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0\) suy ra \(x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2018 khi \(x = 0\).

Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 3\sqrt x  - 2025\) với \(x \ge 0\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).

Đánh giá các số hạng của tổng để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} \ge 0;\sqrt x  \ge 0\) với mọi số thực \(x \ge 0\), suy ra \({x^2} + 3\sqrt x  \ge 0\) với mọi số thực \(x \ge 0\).

Suy ra \({x^2} + 3\sqrt x  - 2025 \ge  - 2025\) với mọi số thực \(x \ge 0\).

Do đó \(A \ge  - 2025\) với mọi số thực \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0;\sqrt x  = 0\), suy ra \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -2025 khi \(x = 0\).

Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} + 169}  - 2025\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(M \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của M là k.

Lời giải

Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \({x^2} + 169 \ge 169\), suy ra \(\sqrt {{x^2} + 169}  \ge \sqrt {169}  = 13\).

Do đó \(\sqrt {{x^2} + 169}  - 2025 \ge 13 - 2025 =  - 2012\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} = 0\), suy ra \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2012 khi \(x = 0\).

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right|\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu “=” xảy ra khi \(ab \ge 0\).

Đánh giá biểu thức \(C \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của C là k.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}C = \left| {3x - 5} \right| + \left| {3x - 9} \right| = \left| {3x - 5} \right| + \left| {9 - 3x} \right|\\ \ge \left| {3x - 5 + 9 - 3x} \right| = \left| 4 \right| = 4\end{array}\)

Do đó \(C \ge 4\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left( {3x - 5} \right).\left( {9 - 3x} \right) \ge 0\)

Ta có 2 trường hợp:

TH1: \(3x - 5 \ge 0\) và \(9 - 3x \ge 0\)

Suy ra \(x \ge \frac{5}{3}\) và \(x \le 3\) hay \(\frac{5}{3} \le x \le 3\).

TH2: \(3x - 5 \le 0\) và \(9 - 3x \le 0\)

Suy ra \(x \le \frac{5}{3}\) và \(x \ge 3\) (loại do không có giá trị nào của \(x\) thoả mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi \(\frac{5}{3} \le x \le 3\).

Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2\)

A. 0.

B. -2.

C. 2.

D. 3.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức \(A \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của A là k.

Sử dụng kiến thức: \(|a| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\);

\({b^2} \ge 0,{b^4} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)

Lời giải

Vì \(\left| { - x - 3} \right| \ge 0;{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {x + 3} \right)^4} \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\);

\(A = \left| { - x - 3} \right| + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^4} + 2 \ge 0 + 0 + 0 + 2 = 2\)

Dấu “ = “ xảy ra khi –x – 3 = 0 ; y – 1 = 0 ; x + 3 = 0

suy ra \(x = {\rm{\;}} - 3;y = 1\)

Vậy min A = 2 khi x  = -3; y = 1

Đáp án: C

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1\)

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức \(P \ge k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của P là k.

Sử dụng kiến thức: \(|a| \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\); \({b^2} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)

Lời giải

Ta có: \({\left( {{x^2} - 4} \right)^2} \ge 0\); \(\left| {y - 5} \right| \ge 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\) nên \(P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1 \ge 0 + 0 - 1 =  - 1\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x^2} - 4 = 0\) và \(y - 5 = 0\)

* \({x^2} - 4 = 0\)

\({x^2} = 4\)

\(x = 2\) hoặc \(x =  - 2\)

* \(y - 5 = 0\)

\(y = 5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -1 khi \(x \in \left\{ {2; - 2} \right\}\) và \(y = 5\).

Đáp án: D

Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(C = 10 - \sqrt x  - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2}\) với \(x \ge 0\) là:

A. 10.

B. 11.

C. 1.

D. -10.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức \(C \le k\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\) nên giá trị lớn nhất của C là k.

Sử dụng kiến thức: \(\sqrt a  \ge 0\) với mọi \(a \ge 0\); \({b^2} \ge 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)

Dẫn đến \( - \sqrt a  \le 0\) với mọi \(a \ge 0\); \( - {b^2} \le 0\) với mọi \(b \in \mathbb{R}\)

Lời giải

Ta có: \(\sqrt x  \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\), \({\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,y\).

Suy ra \( - \sqrt x  \le 0\) với mọi \(x \ge 0\), \( - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x,y\).

Do đó \( - \sqrt x  - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0,y \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(C = 10 - \sqrt x  - {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} \le 10 + 0 = 10\) với mọi \(x \ge 0,y \in \mathbb{R}\).

Giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi \(\sqrt x  = 0\) và \({\left( {x - 2y + 1} \right)^2} = 0\)

Suy ra \(x = 0\) và \({\left( {0 - 2y + 1} \right)^2} = 0\)

\({\left( {1 - 2y} \right)^2} = 0\)

\(1 - 2y = 0\)

\(2y = 1\)

\(y = \frac{1}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi \(x = 0;y = \frac{1}{2}\).

Đáp án: A


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Tải về

>> Xem thêm

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 7 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí