Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao


Chứng minh rằng:

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì: \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi tương đương đưa về các bđt luôn đúng.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr& \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 2\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\cr & \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr 
& \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr 
&  \Leftrightarrow a\left( {{a^2} - {b^2}} \right) - b\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \ge 0\cr &\Leftrightarrow (a - b)({a^2} - {b^2}) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}(a + b) \ge 0 \cr} \)

Điều suy ra luôn đúng do với a ≥ 0; b ≥ 0 thì (a - b)2 ≥ 0, a + b ≥ 0.

Vậy  \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\).

Dấu "=" xảy ra khi 

\(\left[ \begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\
a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 9 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua