Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 6, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 6 Bài tập ôn tập cuối năm phần Số học - Tài liệu Dạy-học ..

Bài 6 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2


Giải bài tập Chứng minh rằng :

Đề bài

Chứng minh rằng :

a) \({1 \over 2} - {1 \over 4} + {1 \over 8} - {1 \over {16}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}} < {1 \over 3}\).

b) \({1 \over 3} - {2 \over {{3^2}}} + {3 \over {{3^3}}} - {4 \over {{3^4}}} + ... + {{99} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} < {3 \over {16}}\).

Lời giải chi tiết

a)Cách 1:

Đặt \(A = {1 \over 2} - {1 \over 4} + {1 \over 8} - {1 \over {16}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}} \Rightarrow 2A = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 4} - {1 \over 8} + {1 \over {16}} - {1 \over {32}}\)

\(\eqalign{  & 2A + A = \left( {1 - {1 \over 2} + {1 \over 4} - {1 \over 8} + {1 \over {16}} - {1 \over {32}}} \right) + \left( {{1 \over 2} - {1 \over 4} + {1 \over 8} - {1 \over {16}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}}} \right)  \cr  & 3A = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} + {1 \over 4} - {1 \over 4} - {1 \over 8} + {1 \over 8} + {1 \over {16}} - {1 \over {16}} - {1 \over {32}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}}  \cr  & 3A = 1 - {1 \over {64}} \Leftrightarrow 3A = {{63} \over {64}}. \cr} \)

Mà \({{63} \over {64}} < 1.\)  Nên 3A < 1. Vậy \(A < {1 \over 3}.\)

Cách 2:

\({1 \over 2} - {1 \over 4} + {1 \over 8} - {1 \over {16}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}} = {{32 - 16 + 8 - 4 + 2 - 1} \over {64}} = {{21} \over {64}} < {{21} \over {63}} = {1 \over 3}.\)

b) Cách 1:

Đặt \(A = {1 \over 3} - {2 \over {{3^2}}} + {3 \over {{3^3}}} - {4 \over {{3^4}}} + ... + {{99} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} \Rightarrow {1 \over 3}A = {1 \over {{3^2}}} - {2 \over {{3^3}}} + {3 \over {{3^4}}} - {4 \over {{3^5}}} + ... + {{99} \over {{3^{100}}}} - {{100} \over {{3^{101}}}}\)

Do đó: \(A + {1 \over 3}A = {1 \over 3} - {1 \over {{3^2}}} + {1 \over {{3^3}}} - {1 \over {{3^4}}} + ... - {1 \over {{3^{100}}}} - {{100} \over {{3^{101}}}}\)

\(4A = 2 - {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} - {1 \over {{3^3}}} + ... - {1 \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} \Rightarrow 12A = 3 - 1 + {1 \over 3} - {1 \over {{3^2}}} + ... - {1 \over {{3^{98}}}} - {{100} \over {{3^{99}}}}\)

Do đó: \(16A = 3 - {{101} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}}.\)  Mà \(3 - {{101} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} < 3.\)  Nên 16A < 3.

Vậy \(A < 3.{1 \over {16}} = {3 \over {16}}.\)

Cách 2:

Đặt \(A = {1 \over 3} - {2 \over {{3^2}}} + {3 \over {{3^3}}} - {4 \over {{3^4}}} + ... + {{99} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} \Rightarrow {2 \over 3}A =  + {2 \over {{3^2}}} - {4 \over {{3^2}}} + {6 \over {{3^4}}} - ... - {{196} \over {{3^{99}}}} + {{198} \over {{3^{100}}}} - {{200} \over {{3^{101}}}}\)

\({1 \over {{3^2}}}A =  + {1 \over {{3^3}}} - {2 \over {{3^4}}} + ... + {{97} \over {{3^{99}}}} - {{98} \over {{3^{100}}}} + {{99} \over {{3^{101}}}} - {{100} \over {{3^{102}}}} - {{101} \over {{3^{101}}}} - {{100} \over {{3^{102}}}} \Leftrightarrow {{16} \over 9}A = {1 \over 3}\)

Ta có: \({1 \over 3} - {{101} \over {{3^{101}}}} - {{100} \over {{3^{102}}}} < {1 \over 3}.\)  Do đó: \({{16} \over 9}A < {1 \over 3} \Rightarrow A < {1 \over 3}:{{16} \over 9} = {3 \over {16}}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store