Trắc nghiệm Bài 4: Hai hình đồng dạng Toán 8 Chân trời sáng tạo

Vì đoạn thẳng MN là hình đồng dạng phối cảnh của đoạn thẳng BC tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{4}\) nên \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow AB = 4AM,AC = 4AN\)

Diện tích tam giác AMN vuông tại A là: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

\(\frac{1}{2}AB.AC = 48 \Rightarrow \frac{1}{2}.4AM.4AN = 48 \Rightarrow \frac{1}{2}AM.AN = 3\left( {c{m^2}} \right)\)

Do đó, diện tích tam giác AMN bằng \(3c{m^2}\).

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD với tỉ số đồng dạng k nên \(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{12}}{6} = 2\)

Ta có: \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = 2 \Rightarrow B'C' = 8.2 = 16\left( {cm} \right)\)

Diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 12.16 = 192\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là 2 nên \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=2\)

\(\Rightarrow A'B'=6cm,B'C'=8cm,A'C'=10cm\)

Vì \(A'C{{'}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}\left( {{10}^{2}}={{8}^{2}}+{{6}^{2}} \right)\) nên tam giác A’B’C’ vuông tại B’

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng của tam giác A’B’C’, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là x nên \(\Delta A''B''C''\backsim \Delta A'B'C'\)

Do đó, \(\widehat{A''B''C''}=\widehat{A'B'C'}=90\) và \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=\frac{B''C''}{B'C'}=x\Rightarrow A''B''=6x,A''C''=10x,B''C''=8x\)

Vì tam giác A”B”C” vuông tại B” nên diện tích tam giác A”B”C” là:

\({{S}_{A''B''C''}}=\frac{1}{2}B''A''.B''C''\Rightarrow \frac{1}{2}.6x.8x=96\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=2\) (do \(x>0\))

Chu vi tấm thảm ABC là: \(AB + BC + AC = 400\)

Chu vi tấm thảm A’B’C’ là: \(P' = A'B' + B'C' + A'C'\)

Vì tấm thảm ABC đồng dạng phối cảnh với tấm thảm A’B’C’ tâm O, tỉ số \(\frac{2}{3}\) nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{2}{3}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{A'B' + B'C' + A'C'}} = \frac{{400}}{{P'}} = \frac{2}{3}\) nên \(P' = 400.\frac{3}{2} = 600\left( {cm} \right)\)

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD với tỉ số đồng dạng k nên \(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{24}}{{12}} = 2\)

Ta có: \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = 2 \Rightarrow B'C' = 16.2 = 32\left( {cm} \right)\)

Diện tích bức tranh A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 24.32 = 768\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là 2 nên \(\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=2\)

\(\Rightarrow A'B'=24cm,B'C'=32cm,A'C'=40cm\)

Vì \(A'C{{'}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}\left( {{40}^{2}}={{32}^{2}}+{{24}^{2}} \right)\) nên tam giác A’B’C’ vuông tại B’

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng của tam giác A’B’C’, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là x nên \(\Delta A''B''C''\backsim \Delta A'B'C'\)

Do đó, \(\widehat{A''B''C''}=\widehat{A'B'C'}=90\) và \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=\frac{B''C''}{B'C'}=x\Rightarrow A''B''=24x,A''C''=40x,B''C''=32x\)

Vì tam giác A”B”C” vuông tại B” nên diện tích tam giác A”B”C” là:

\({{S}_{A''B''C''}}=\frac{1}{2}B''A''.B''C''\Rightarrow \frac{1}{2}.24x.32x=1536\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=2\)(do \(x>0\))