Bài 50 trang 87 SGK Toán 9 tập 2

Cho đường tròn đường kính AB cố định.

Đề bài

Cho đường tròn đường kính $AB$ cố định. $M$ là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $I$ sao cho $MI = 2MB.$

a) Chứng minh $\widehat{AIB}$ không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm $I$ nói trên.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn

b) Chứng minh theo hai phần: Phần thuận và phần đảo.

Lập luận để có quỹ tích là cung chứa góc $AIB$ dựng trên đoạn BC.

Chú ý đến giới hạn của quỹ tích.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O$ là trung điểm $AB$ . Xét đường tròn tâm $O$ có $\widehat {AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {AMB} = 90^\circ$ hay $AM \bot MB$

Xét tam giác vuông $MBI$ có $MI = 2MB \Rightarrow \tan \widehat {MIB} = \dfrac{{MB}}{{MI}} = \dfrac{{MB}}{{2MB}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat {AIB} = \alpha =26^{0}34'$ không đổi

b) Phần thuận:

Khi điểm M thay đổi trên đường tròn đường kính AB thì điểm I thay đổi và luôn nhìn cạnh AB dưới một góc $\widehat {AIB} = \alpha =26^{0}34'$ không đổi

Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc $\alpha=26^{0}34'$ dựng trên đoạn AB.

Nhưng tiếp tuyến PQ với đường tròn đường kính AB tại A là vị trí giới hạn của AM. Do đó điểm I thuộc hai cung $PmB,Qm'B$ .

Hai điểm P, Q là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm B là điểm đặc biệt của quỹ tích

Phần đảo:

Lấy điểm $I'$ bất kỳ thuộc cung $Qm'B$ (hoặc cung $PmB$ ). Nối $AI'$ cắt đường tròn tâm $O$ tại $M'.$ Ta chứng minh $M'I' = 2M'B.$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {AM'B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {AM'B} = 90^\circ \Rightarrow AM' \bot BM' \Rightarrow \widehat {BM'I'} = 90^\circ$

Xét tam giác $BM'I'$ vuông ở $M'$ có $\widehat {BI'M'} = \alpha$ (do $I'$ bất kỳ thuộc cung $Qm'B$ là cung chứa góc $\alpha$ dựng trên đoạn AB) nên $\tan \widehat {BI'M'} = \tan \alpha = \dfrac{1}{2}$ mà $\tan \widehat {BI'M'} = \dfrac{{BM'}}{{M'I'}} \Rightarrow \dfrac{{BM'}}{{M'I'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M'I' = 2BM'$