Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm ..

Bài 46 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số: a) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = -1

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right)\)

LG a

Tìm các giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.\)

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr 
f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2}-m - 2 > 0 \hfill \cr 
{\left( { - 1} \right)^2} + 2m.\left( { - 1} \right) + m + 2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
- m + 3 \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - 1\\
2 < m < 3\\
m > 3
\end{array} \right.\)

Vậy \(m < -1\) hoặc \(2 < m < 3\) hoặc \(m > 3\).

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m = -1\)

Lời giải chi tiết:

Với \(m =-1\) ta có \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \) \(= {x^3} - {x^2} - x + 1\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& y' = 3{x^2} - 2x - 1\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\cr&y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( { - {1 \over 3}} \right) = {{32} \over {27}} \cr} \)

Bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{3};1} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - \frac{1}{3}\) và \({y_{CD}} = y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{32}}{{27}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  1\) và \({y_{CT}} = y\left( { 1} \right) = 0\)

\(y'' = 6x - 2\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3};\,y\left( {{1 \over 3}} \right) = {{16} \over {27}}\)

Xét dấu \(y”\)

 

Điểm uốn \(I\left( {{1 \over 3};{{16} \over {27}}} \right)\)

Điểm đồ thị đi qua:

\(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)

\(x = -1 \Rightarrow y = 0\)

Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn \(I\) làm tâm đối xứng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store