Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 2 (hay, chi tiết)
I. Phần trắc nghiệm
Đề bài
Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là
-
A.
cosx + C
-
B.
sinx + C
-
C.
-cosx + C
-
D.
-sinx + C
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức
-
A.
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)
-
B.
\(S = \int\limits_a^b {f(x)dx} \)
-
C.
\(S = - \int\limits_a^b {f(x)dx} \)
-
D.
\(S = \int\limits_b^a {\left| {f(x)} \right|dx} \)
Cô Hà thống kê lại đường kính thân gốc của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
-
A.
25
-
B.
30
-
C.
6
-
D.
69,8
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;1) và N(3;1;-2). Đường thẳng MN có phương trình là
-
A.
\(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
-
B.
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\)
-
C.
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
-
D.
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\)
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là
-
A.
\(y = \frac{1}{4}\)
-
B.
\(y = 4\)
-
C.
\(y = 1\)
-
D.
\(y = - 1\)
Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _4}(4a)\) bằng
-
A.
\(1 - {\log _4}a\)
-
B.
\(1 + {\log _4}a\)
-
C.
\(4 - {\log _4}a\)
-
D.
\(4 + {\log _4}a\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 4y – z = 3. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (P)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = (2;4; - 1)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 4;1)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = ( - 2;4;1)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = (2;4;1)\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\(AC \bot (SBC)\)
-
B.
\(BC \bot (SAC)\)
-
C.
\(BC \bot (SAB)\)
-
D.
\(AB \bot (SBC)\)
Nghiệm của phương trình \({\log _2}(x - 1) = 3\) là
-
A.
x = 10
-
B.
x = 8
-
C.
x = 9
-
D.
x = 7
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2\) và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân.
-
A.
24
-
B.
54
-
C.
162
-
D.
48
Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Phát biểu nào sau đây đúng?
-
A.
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD} \)
-
B.
\(\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \)
-
C.
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
-
D.
\(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \)
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(( - 3;0)\)
-
B.
\((0; + \infty )\)
-
C.
\((0;2)\)
-
D.
\(( - \infty ; - 3)\)
Cho hàm số f(x) = sin2x – x.
a) \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = cos2x – 1.
c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{6}\) hoặc \(\frac{\pi }{6}\).
d) Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{2}\).
Sự phân hủy của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hòa tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (\(t \ge 0\)) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\).
a) Vào thời điểm t = 1 thì nồng độ oxygen trong nước là 3,5 (mg/l).
b) Nồng độ oxygen (mg/l) trong hồ nước không vượt quá 5 (mg/l).
c) Vào thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất.
d) Nồng độ oxygen (mg/l) trong hồ nước thấp nhất là 3,5 (mg/l).
Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,4 và khả năng thắng thầu của dự án 2 là 0,5. Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là 0,3. Gọi A là biến cố: “Thắng thầy dự án 1”, B là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.
a) A và B là hai biến cố độc lập.
b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng 0,7.
c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là 0,75.
d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là 0,25.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilomet), một máy bay đang ở vị trí A(3,5;2;0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5;5,5;0) trên đường băng EG (hình vẽ).
a) Đường thẳng AB có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = - 2 + 7,5t\\z = 0,4 - 0,4t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
b) Khi máy bay ở vị trí D(3,5;3,25;0,12) thì máy bay cách mặt đất 120 m.
c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(5;0;0), N(0;-5;0), P(0;0;0,5). Vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là \(C\left( {\frac{7}{2};\frac{{47}}{{44}};\frac{{13}}{{55}}} \right)\).
d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5;4,5;0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Nếu sau khi ra khỏi đám mây, tầm nhìn của người phi công là 900 m thì người phi công đã không đạt được quy định an toàn bay.
(Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố A, B, C, D, E (hình vẽ bên dưới). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình. Xe giao hàng của công ty xuất phát từ một thành phố trong năm thành phố trên đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố ban đầu. Tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng.
Đáp án:
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Biết . Tính x + 2y – z (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m. Người treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên Parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí hoa, biết MN = 4 m, MQ = 6 m. Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phần không tô đen) là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA′ = 500 m, BB′ = 600 m. Người ta đo được A’B’ = 2200 m như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B’ sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Đáp án:
Một căn bệnh có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu (kết quả viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là
-
A.
cosx + C
-
B.
sinx + C
-
C.
-cosx + C
-
D.
-sinx + C
Đáp án : C
Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác.
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức
-
A.
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)
-
B.
\(S = \int\limits_a^b {f(x)dx} \)
-
C.
\(S = - \int\limits_a^b {f(x)dx} \)
-
D.
\(S = \int\limits_b^a {\left| {f(x)} \right|dx} \)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng thông qua tích phân.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) là \(\int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
Cô Hà thống kê lại đường kính thân gốc của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
-
A.
25
-
B.
30
-
C.
6
-
D.
69,8
Đáp án : A
Để tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là R = 65 – 40 = 25 (cm).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;1) và N(3;1;-2). Đường thẳng MN có phương trình là
-
A.
\(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
-
B.
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\)
-
C.
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
-
D.
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\)
Đáp án : B
Đường thẳng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\), đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) có phương trình là \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).
\(\overrightarrow {MN} = (2; - 1; - 3)\) là vecto chỉ phương của đường thẳng MN, lại có M(1;2;1) thuộc MN nên phương trình đường thẳng là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là
-
A.
\(y = \frac{1}{4}\)
-
B.
\(y = 4\)
-
C.
\(y = 1\)
-
D.
\(y = - 1\)
Đáp án : B
Hàm số y = f(x) có tiệm cận ngang y = a nếu thỏa mãn ít nhất một trong những điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = a\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = a\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {4 + \frac{1}{x}} \right)}}{{x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{{4 + 0}}{{1 - 0}} = 4\).
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là y = 4.
Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _4}(4a)\) bằng
-
A.
\(1 - {\log _4}a\)
-
B.
\(1 + {\log _4}a\)
-
C.
\(4 - {\log _4}a\)
-
D.
\(4 + {\log _4}a\)
Đáp án : B
Áp dụng các tính chất của phép tính logarit: \({\log _a}a = 1\); \({\log _a}bc = {\log _a}b + {\log _b}c\).
\({\log _4}(4a) = lo{g_4}4 + {\log _4}a = 1 + {\log _4}a\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 4y – z = 3. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (P)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = (2;4; - 1)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 4;1)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = ( - 2;4;1)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = (2;4;1)\)
Đáp án : A
Vecto pháp tuyến của đường thẳng ax + by + cz + d = 0 là \(\overrightarrow n = (a;b;c)\).
Vecto pháp tuyến của đường thẳng 2x + 4y – z = 3 là \(\overrightarrow {{n_1}} = (2;4; - 1)\).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\(AC \bot (SBC)\)
-
B.
\(BC \bot (SAC)\)
-
C.
\(BC \bot (SAB)\)
-
D.
\(AB \bot (SBC)\)
Đáp án : C
Một đường thẳng vuông góc với một măt phẳng nếu đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng.
Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\\SA \cap AB = A\end{array} \right.\) suy ra \(BC \bot (SAB)\).
Nghiệm của phương trình \({\log _2}(x - 1) = 3\) là
-
A.
x = 10
-
B.
x = 8
-
C.
x = 9
-
D.
x = 7
Đáp án : C
\({\log _a}b = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b > 0\\b = {a^x}\end{array} \right.\).
\({\log _2}(x - 1) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 = {2^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 9\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2\) và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân.
-
A.
24
-
B.
54
-
C.
162
-
D.
48
Đáp án : B
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).
\({u_4} = {u_1}{q^3} = {2.3^3} = 54\).
Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Phát biểu nào sau đây đúng?
-
A.
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD} \)
-
B.
\(\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \)
-
C.
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
-
D.
\(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \)
Đáp án : B
Áp dụng quy tắc hình hộp, xét từng đáp án.
Theo quy tắc hình hộp, chỉ có \(\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \) đúng.
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(( - 3;0)\)
-
B.
\((0; + \infty )\)
-
C.
\((0;2)\)
-
D.
\(( - \infty ; - 3)\)
Đáp án : A
Hàm số f(x) nghịch biến khi f’(x) < 0.
Dựa vào bảng xét dấu, thấy f’(x) < 0 trên khoảng \(( - 3;0)\) và \((2; + \infty )\).
Trong các đáp án, chỉ có khoảng \(( - 3;0)\) thỏa mãn.
Cho hàm số f(x) = sin2x – x.
a) \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = cos2x – 1.
c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{6}\) hoặc \(\frac{\pi }{6}\).
d) Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{2}\).
a) \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = cos2x – 1.
c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{6}\) hoặc \(\frac{\pi }{6}\).
d) Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{2}\).
a) Thay \( - \frac{\pi }{2}\), \(\frac{\pi }{2}\) vào x của phương trình rồi tính.
b) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp lượng giác: (sinu)’ = u’.cosu.
c) Nếu \(\cos \alpha = m\) thì \(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).
Dựa vào khoảng hoặc đoạn đề bài cho, tìm các giá trị k thỏa mãn rồi thay vào công thức nghiệm và kết luận.
d) Thay giá trị hai đầu mút của đoạn và các giá trị sao cho f’(x) = 0 vào f(x) và tìm giá trị nhỏ nhất.
a) Đúng. \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \sin ( - \pi ) - \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\) và \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin (\pi ) - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{2}\).
b) Sai. f’(x) = 2cos2x – 1.
c) Đúng. \(2\cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).
+) \( - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} \le k\pi \le \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{1}{3} \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)).
Suy ra \(x = \frac{\pi }{6} + 0.\pi = \frac{\pi }{6}\).
+) \( - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow - \frac{\pi }{2} \le - \frac{\pi }{6} + k\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} \le k\pi \le \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3} \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)).
Suy ra \(x = - \frac{\pi }{6} + 0.\pi = - \frac{\pi }{6}\).
Vậy trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thì f’(x) = 0 có hai nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\); \(x = - \frac{\pi }{6}\).
d) Đúng. f(x) = sin2x – x;
f’(x) = 2cos2x – 1 có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{6} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).
\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\); \(f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6}\); \(f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{2}\).
Sự phân hủy của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hòa tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (\(t \ge 0\)) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\).
a) Vào thời điểm t = 1 thì nồng độ oxygen trong nước là 3,5 (mg/l).
b) Nồng độ oxygen (mg/l) trong hồ nước không vượt quá 5 (mg/l).
c) Vào thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất.
d) Nồng độ oxygen (mg/l) trong hồ nước thấp nhất là 3,5 (mg/l).
a) Vào thời điểm t = 1 thì nồng độ oxygen trong nước là 3,5 (mg/l).
b) Nồng độ oxygen (mg/l) trong hồ nước không vượt quá 5 (mg/l).
c) Vào thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất.
d) Nồng độ oxygen (mg/l) trong hồ nước thấp nhất là 3,5 (mg/l).
a) Thay t = 1 vào hàm số và tính giá trị của hàm số.
b), c), d) Lập bảng biến thiên của hàm số và nhận xét.
a) Đúng. \(y(1) = 5 - \frac{{15}}{{{{9.1}^2} + 1}} = 3,5\) (mg/l).
b) Đúng. Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \([0; + \infty )\):
\(y'(t) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{9{t^2} + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{3}\\t = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị của \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 5 nên nồng độ oxygen (mg/l) trong hồ nước không vượt quá 5.
c) Đúng. Quan sát bảng biến thiên, thấy vào thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất bằng 5.
d) Sai. Quan sát bảng biến thiên, thấy nồng độ oxygen (mg/l) trong hồ nước thấp nhất là 2,5 (mg/l).
Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,4 và khả năng thắng thầu của dự án 2 là 0,5. Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là 0,3. Gọi A là biến cố: “Thắng thầy dự án 1”, B là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.
a) A và B là hai biến cố độc lập.
b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng 0,7.
c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là 0,75.
d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là 0,25.
a) A và B là hai biến cố độc lập.
b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng 0,7.
c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là 0,75.
d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là 0,25.
a) A và B là hai biến cố độc lập khi P(A).P(B) = P(AB).
b) Áp dụng công thức cộng cho nhóm biến cố đầy đủ.
c) Áp dụng công thức xác suất của biến cố A với điều kiện B:
\(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\).
d) Áp dụng công thức có điều kiện và xác suất của biến cố đối.
a) Sai. Có P(A).P(B) = 0,4.0,5 = 0,2. Mà P(AB) = 0,3. Suy ra \(P(A).P(B) \ne P(AB)\).
Do đó, hai biến cố A, B không độc lập.
b) Sai. Gọi C là biến cố: “Thắng thầu đúng 1 dự án”. Khi đó \(C = \overline A B \cup A\overline B \).
Mà \(\overline A B\) và \(A\overline B \) là các biến cố xung khắc nên \(P(C) = P(\overline A B) + P(A\overline B )\).
Ta có:
\(P(A) = P(A\overline B ) + P(AB) \Leftrightarrow P(A\overline B ) = P(A) - P(AB) = 0,4 - 0,3 = 0,1\).
\(P(B) = P(\overline A B) + P(AB) \Leftrightarrow P(\overline A B) = P(B) - P(AB) = 0,5 - 0,3 = 0,2\).
Vậy \(P(C) = P(\overline A B) + P(A\overline B ) = 0,2 + 0,1 = 0,3\).
c) Đúng. \(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} = 0,75\).
d) Sai. \(P(B|\overline A ) = \frac{{P(\overline A B)}}{{P(\overline A )}} = \frac{{P(\overline A B)}}{{1 - P(A)}} = \frac{{0,2}}{{1 - 0,4}} = \frac{1}{3}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilomet), một máy bay đang ở vị trí A(3,5;2;0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5;5,5;0) trên đường băng EG (hình vẽ).
a) Đường thẳng AB có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = - 2 + 7,5t\\z = 0,4 - 0,4t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
b) Khi máy bay ở vị trí D(3,5;3,25;0,12) thì máy bay cách mặt đất 120 m.
c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(5;0;0), N(0;-5;0), P(0;0;0,5). Vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là \(C\left( {\frac{7}{2};\frac{{47}}{{44}};\frac{{13}}{{55}}} \right)\).
d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5;4,5;0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Nếu sau khi ra khỏi đám mây, tầm nhìn của người phi công là 900 m thì người phi công đã không đạt được quy định an toàn bay.
(Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Đường thẳng AB có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = - 2 + 7,5t\\z = 0,4 - 0,4t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
b) Khi máy bay ở vị trí D(3,5;3,25;0,12) thì máy bay cách mặt đất 120 m.
c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(5;0;0), N(0;-5;0), P(0;0;0,5). Vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là \(C\left( {\frac{7}{2};\frac{{47}}{{44}};\frac{{13}}{{55}}} \right)\).
d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5;4,5;0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Nếu sau khi ra khỏi đám mây, tầm nhìn của người phi công là 900 m thì người phi công đã không đạt được quy định an toàn bay.
(Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Đường thẳng đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\), nhận vecto \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) làm vecto chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy).
c) Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) và đường thẳng AB.
d) Tính khoảng cách DE và so sánh với 900 m.
a) Đúng. Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = \left( {0;7,5; - 0,4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3,5}\\{y = {\rm{\;}} - 2 + 7,5t}\\{z = 0,4 - 0,4t}\end{array}} \right.\) (t là tham số).
b) Đúng. Điểm D có cao độ là 0,12, suy ra khoảng cách từ D đến mặt đất (Oxy) là 0,12 km = 120 m.
c) Sai. Phương trình mặt chắn của mặt phẳng (MNP) là: \(\frac{x}{5} + \frac{y}{{ - 5}} + \frac{z}{{0,5}} = 1\).
Từ đó, ta suy ra phương trình tổng quát của (MNP) là: \(x - y + 10z - 5 = 0\).
Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\).
Vì C thuộc AB nên \(C\left( {3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t} \right)\). Mà C thuộc mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) nên:
\(3,5 - \left( { - 2 + 7,5t} \right) + 10\left( {0,4 - 0,4t} \right) - 5 = 0\), suy ra \(t = \frac{9}{{23}}\). Do đó, \(C\left( {\frac{7}{2};\frac{{43}}{{46}};\frac{{28}}{{115}}} \right)\).
d) Đúng. Khi máy bay cách mặt đất 120 m, nó đang ở vị trí điểm D. DE là tầm nhìn của phi công tới E khi cách mặt đất 120 m.
Ta có: \(DE = \sqrt {{{\left( {3,5 - 3,5} \right)}^2} + {{\left( {4,5 - 3,25} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0,12} \right)}^2}} {\rm{\;}} \approx 1,256\) (km).
Vì tầm nhìn của phi công sau khi ra khỏi đám mây là \(900m = 0,9km < 1,256km\) nên người phi công đó không nhìn thấy E, do đó không đạt được quy định an toàn bay.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
Các tam giác đều ABC, ABD có I là trung điểm của AB nên
\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot DI\end{array} \right.\), suy ra \(AB \bot (ICD)\), mà \(IJ \subset (ICD)\) nên \(AB \bot IJ\) (1).
Tương tự, các tam giác đều ACD, BCD có J là trung điểm của CD nên
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AJ\\CD \bot BJ\end{array} \right.\), suy ra \(CD \bot (ABJ)\), mà \(IJ \subset (ABJ)\) nên \(CD \bot IJ\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB, CD. Vậy, IJ là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD.
CI là đường cao tam giác đều ABC cạnh 2 nên \(CI = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).
Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác CIJ vuông tại J, ta có:
\(IJ = \sqrt {C{I^2} - C{J^2}} = \sqrt {3 - 1} = \sqrt 2 \approx 1,41\).
Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố A, B, C, D, E (hình vẽ bên dưới). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình. Xe giao hàng của công ty xuất phát từ một thành phố trong năm thành phố trên đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố ban đầu. Tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng.
Đáp án:
Đáp án:
Liệt kê và so sánh.
Do đó, chi phí nhỏ nhất của xe giao hàng là 53.
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Biết . Tính x + 2y – z (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng hệ thức lượng giác và định lý Pythagore để tính tọa độ điểm B. Từ đó tìm tọa độ \(\overrightarrow {AB} = (x;y;z)\).
A(0;0;10).
\(\sin \widehat {HOB} = \frac{{BH}}{{OB}} \Leftrightarrow \sin {30^o} = \frac{{BH}}{{OB}} \Leftrightarrow BH = OB\sin {30^o} = 15\sin {30^o} = \frac{{15}}{2}\).
Suy ra \({x_B} = OK = BH = 7,5\).
\({y_B} = OH = \sqrt {O{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {\frac{{15}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\).
B thuộc mặt phẳng (Oxy) nên \({z_B} = 0\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).
Vậy \(x + 2y - z = \frac{{15}}{2} + 2.\frac{{15\sqrt 3 }}{2} - ( - 10) \approx 43,5\).
Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m. Người treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên Parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí hoa, biết MN = 4 m, MQ = 6 m. Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phần không tô đen) là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Đáp án:
Tính diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa bằng cách tính diện khoảng trống giới hạn bởi cổng parabol với mặt đất rồi trừ đi diện tích tấm phông chữ nhật MNPQ.
+ Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, xác định tọa độ các điểm.
+ Ứng dụng hình học của tích phân tính diện tích.
Gọi \({S_P}\) là diện tích khoảng trống giới hạn bởi cổng parabol với mặt đất, \({S_{MNPQ}}\) là diện tích tấm phông hình chữ nhật MNPQ, S là diện tích phần ngoài phông cần tính.
Khi đó, \(S = {S_P} - {S_{MNPQ}} = {S_P} - MN.MQ = {S_P} - 4.6 = {S_P} - 24\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Gọi đồ thị cổng parabol có phương trình là \(y = a{x^2} + bx + c\).
Vì parabol đi qua các điểm có tọa độ (4;0), (-4;0) và (2;6) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.4^2} + b.4 + c\\0 = a.{( - 4)^2} + b.( - 4) + c\\6 = a{.2^2} + b.2 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 0\\c = 8\end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị cổng parabol có phương trình là \(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 8\).
\({S_P}\) là phần hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 8\) và trục hoành nên:
\({S_P} = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| { - \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right|dx} = \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right)dx} = \frac{{128}}{3}\) \(({m^2})\).
Vậy diện tích phía ngoài phông để trang trí hoa là \(S = {S_P} - 24 = \frac{{128}}{3} - 24 = \frac{{56}}{3} \approx 18,7\) \(({m^2})\).
Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA′ = 500 m, BB′ = 600 m. Người ta đo được A’B’ = 2200 m như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B’ sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Đáp án:
Đáp án:
Lập hàm số tính khoảng cách AM + MB.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số vừa tìm được bằng cách ứng dụng đạo hàm.
Đặt A’M = x (0 < x < 2200), B’M = 2200 – x (m).
Ta có \(AM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \), \(BM = \sqrt {{{(2200 - x)}^2} + {{600}^2}} \) (m).
Tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là:
\(AM + BM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} + \sqrt {{{(2200 - x)}^2} + {{600}^2}} \) (m).
Xét hàm số \(f(x) = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} + \sqrt {{{(2200 - x)}^2} + {{600}^2}} \) (m).
Đạo hàm \(f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{500}^2}} }} + \frac{x}{{\sqrt {{{(2200 - x)}^2} + {{600}^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\) (m).
Bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông là khoảng 2460 m, tại vị trí M cách điểm A’ là 1000 m.
Một căn bệnh có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu (kết quả viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng công thức xác suất có điều kiện và công thức Bayes.
A: “Người đó mắc bệnh”. Căn bệnh có 1% dân số mắc phải nên P(A) = 1% = 0,01.
\(\overline A \): “Người đó không mắc bệnh”. \(P(\overline A ) = 1 - P(A) = 0,99\).
B: “Kết quả kiểm tra của người đó là dương tính”.
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là P(B|A) = 99% = 0,99.
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là \(P(B|\overline A ) = 1 - P(B|A) = 1 - 0,99 = 0,01\).
Áp dụng công thức Bayes, xác suất để một người kiểm tra dương tính mà thực sự bị bệnh là:
\(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).(B|A) + P(\overline A ).(B|\overline A )}} = \frac{{0,01.0,99}}{{0,01.0,99 + 0,99.0,01}} = 0,5\).
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Ninh Bình
- Đề thi thử THPT môn Toán năm 2025 Sở GD Hà Tĩnh
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 3 (hay, chi tiết)
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 2 (hay, chi tiết)
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Ninh Bình
- Đề thi thử THPT môn Toán năm 2025 Sở GD Hà Tĩnh
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 3 (hay, chi tiết)
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 2 (hay, chi tiết)
