Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _4}(4a)\) bằng

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính \({\log _9}\frac{1}{{27}}.\)

Giả sử đã cho \({\log _a}M\) và ta muốn tính \({\log _b}M.\) Để tìm mối liên hệ giữa \({\log _a}M\) và \({\log _b}M,\) hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt \(y = {\log _a}M,\) tính M theo y;

b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y.

Rút gọn biểu thức:

\(A = {\log _2}\left( {{x^3} - x} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\left( {x > 1} \right).\)

Cho M = 2⁵, N = 2³. Tính và so sánh:

a) \({\log _2}\left( {MN} \right)\) và \({\log _2}M + {\log _2}N;\)

b) \({\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right)\) và \({\log _2}M - {\log _2}N.\)

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = {\log _2}3.{\log _3}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8;\)                          

b) \(B = {\log _2}2.{\log _2}4...{\log _2}{2^n}.\)

Cho hai số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + {\log _a}b\).

B. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + 2{\log _a}b\).

C. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{3}{2} + {\log _a}b\).                                 

D. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}{\log _a}b\).

Cho bốn số thực dương a, b, x, y với \(a,b \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y\).                               

B. \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).

C. \({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\). 

D. \({\log _a}b \cdot {\log _b}x = {\log _a}x\).

Tính:

a) \({\log _5}4 + {\log _5}\frac{1}{4}\);                                   

b) \({\log _2}28 - {\log _2}7\);

c) \(\log \sqrt {1000} \).

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \({\log _6}9 + {\log _6}4\);     

b) \({\log _5}2 - {\log _5}50\);    

c) \({\log _3}\sqrt 5  - \frac{1}{2}{\log _3}15\).

Tính giá trị của các biểu thức:

a) \({\log _2}72 - \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}3 + {{\log }_2}27} \right)\);

b) \({5^{{{\log }_2}40 - {{\log }_2}5}}\);

c) \({3^{2 + {{\log }_9}2}}\).

Viết công thức biểu thị \(y\) theo \(x\), biết \(2{\log _2}y = 2 + \frac{1}{2}{\log _2}x\).

Cho \(0 < a \ne 1\). Giá trị của biểu thức \({\log _a}\left( {{a^3} \cdot \sqrt[4]{a}} \right) + {(\sqrt[3]{a})^{{{\log }_a}8}}\) bằng

A. \(\frac{{19}}{4}\).              

B. 9 .                   

C. \(\frac{{21}}{4}\).              

D. \(\frac{{47}}{{12}}\).

Cho ba số thực dương a, b, c với \(a \ne 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} b \ne 1\).

a) Bằng cách sử dụng tính chất \(c = {b^{{{\log }_b}c}}\), chứng tỏ rằng \({\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b\)

b) So sánh \({\log _b}c\) và \(\frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\).

Tính: \(2{\log _3}5 - {\log _3}50 + \frac{1}{2}{\log _3}36\).

Cho \(a > 0;a \ne 1;b > 0\), α là một số thực

a) Tính \({a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}}\,\,\,và \,\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}}\).

b) So sánh \({\log _a}{b^\alpha }\,\,\,và \,\,\,\alpha {\log _a}b\).

Tính:

a) \(\ln \left( {\sqrt 5  + 2} \right) + \ln \left( {\sqrt 5  - 2} \right)\)

b) \(\log 400 - \log 4\)

c) \({\log _4}8 + {\log _4}12 + {\log _4}\frac{{32}}{3}\)

Tính:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{1}{{64}}\)

b) \({\rm{log}}1000\);

c) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}1250 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}10\);

d) \({4^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}\).

Chứng minh rằng:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\);

b) \({\rm{ln}}\left( {1 + {e^{2x}}} \right) = 2x + {\rm{ln}}\left( {1 + {e^{ - 2x}}} \right)\).

Cho \(a > 0\). Giá trị của \(\ln \left( {9a} \right) - \ln \left( {3a} \right)\) bằng:

A. \(\ln \left( {6a} \right).\)

B. \(\ln 6.\)

C. \(\frac{{\ln 9}}{{\ln 3}}.\)

D. \(\ln 3.\)

Cho \(a > 0,b > 0\). Mệnh đề đúng là:

A. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b.\)

B. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a - {\log _2}b.\)

C. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a + {\log _2}b.\)

D. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a + {\log _2}b.\)

Cho \(a > 0,a \ne 1\) và \(b > 0\) . Mệnh đề đúng là:

A. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}lo{g_a}b.\)

B. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + 2{\log _a}b.\)

C. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}lo{g_a}b.\)

D. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}lo{g_a}b.\)

Nếu \({\log _2}3 = a\) thì \({\log _6}9\) bằng:

A. \(\frac{a}{{a + 1}}.\)

B. \(\frac{a}{{a + 2}}.\)

C. \(\frac{{2a}}{{a + 2}}.\)

D. \(\frac{{2a}}{{a + 1}}.\)

Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Khi đó,  \(\log \left( {a + b} \right)\) bằng:

A. \(\log 9 + \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).\)

B. \(\log 3 + \frac{1}{2}\log a.\log b.\)

C. \(\log 3 + \frac{1}{2}\log a + \log b.\)

D. \(\log 3 + \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).\)

Tính:

a) \(A = \frac{{{{25}^{{{\log }_5}6}} + {{49}^{{{\log }_7}8}} - 3}}{{{3^{1 + {{\log }_9}4}} + {4^{2 - {{\log }_2}3}} + {5^{{{\log }_{125}}27}}}};\)       

b) \(\frac{{{{36}^{{{\log }_6}5}} + {{10}^{1 - \log 2}} - 3{}^{{{\log }_9}36}}}{{{{\log }_2}\left( {{{\log }_2}\sqrt {\sqrt[4]{2}} } \right)}};\)

c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right);\)                 

d) \(D = {\log _4}2.{\log _6}4.{\log _8}6.\)

Cho \({\log _a}b = 4.\) Tính:

a) \({\log _a}\left( {{a^{\frac{1}{2}}}{b^5}} \right);\)                                     

b) \({\log _a}\left( {\frac{{a\sqrt b }}{{b\sqrt[3]{a}}}} \right);\)

c) \({\log _{{a^3}{b^2}}}\left( {{a^2}{b^3}} \right);\)                                    

d) \({\log _{a\sqrt[3]{b}}}\left( {\sqrt[4]{{a\sqrt b }}} \right).\)

a) Cho \({\log _2}3 = a.\) Tính \({\log _{18}}72\) theo \(a.\)

b) Cho \(\log 2 = a.\) Tính \({\log _{20}}50\) theo \(a.\)

Cho \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \({x^2} + 4{y^2} = 6xy.\) Chứng minh rằng: \(2\log \left( {x + 2y} \right) = 1 + \log x + \log y.\)

Cho \(a,b,c,x,y,z\) là các số thực dương khác 1 và \({\log _x}a,{\rm{ }}{\log _y}b,{\rm{ }}{\log _z}c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: \({\log _b}y = \frac{{2{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}.\)

Giá trị của \({\log _2}9 - {\log _2}36\) bằng:

A. \(2.\)

B. \(4.\)

C. \( - 4.\)

D. \( - 2.\)

Nếu \(\log 2 = a\) thì \(\log 4000\) bằng:

A. \(2a + 3.\)

B. \(3{a^2}.\)

C. \(\frac{1}{2}a + 3.\)

D. \({a^2} + 3.\)