Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là

Tìm:

a) \(\int {\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)dx} \);

b) \(\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

Tìm:

a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\);

b) \(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx\);

c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx\);

d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\).

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\).

a) Hàm số \(y =  - \cos x\) có là nguyên hàm của hàm số \(y = \sin x\)

b) Hàm số \(y = \sin x\) có là nguyên hàm của hàm số \(y = \cos x\)

c) Với \(x \notin k\pi (k \in \mathbb{Z})\), hàm số \(y = \cot x\) có là nguyên hàm của hàm số \(\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}\) hay không?

d) Với \(x \notin \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\), hàm số \(y = \tan x\) có là nguyên hàm của hàm số \(\frac{1}{{{{\cos }^2}(x)}}\) hay không?

\(\int {(2\sin x - 3\cos x)dx} \) bằng:

A. \(2\cos x - 3\sin x + C\)

B. \(2\cos x + 3\sin x + C\)

C. \( - 2\cos x + 3\sin x + C\)

D. \( - 2\cos x - 3\sin x + C\)

Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 - {\tan ^2}(x)\) bằng:

A. \(2 - \tan x + C\)

B. \(2x - \tan x + C\)

C. \(x - \frac{{{{\tan }^3}x}}{3} + C\)

D. \( - 2\tan x + C\)

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).

a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y =  - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y =  - \cot x\).

b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx}  = \sin x + 2\cos x + C\)

B. \(\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx}  =  - \sin x + 2\cos x + C\)

C. \(\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx}  = \sin x - 2\cos x + C\)

D. \(\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx}  =  - \sin x - 2\cos x + C\)

Hàm số \(y = \sin 2x\) là nguyên hàm của hàm số:

A. \(y = \cos 2x\).

B. \(y = 2\cos 2x\).

C. \(y =  - \cos 2x\).

D. \(y = \frac{{ - \cos 2x}}{2}\).

Xét dao động điều hoà của một chất điểm có vận tốc tức thời tại thời điểm \(t\) là: \(v\left( t \right) =  - 0,2\pi \sin \left( {\pi t} \right)\), trong đó, \(t\) tính bằng giây, \(v\left( t \right)\) tính bằng \(m/s\). Tìm phương trình li độ \(x\left( t \right)\), biết \(v\left( t \right)\) là đạo hàm của \(x\left( t \right)\) và \(x\left( 0 \right) = 0,2\left( m \right)\).

\(\int {\sin \left( { - x} \right)dx} \) bằng:

A. \(\sin x + C\).

B. \(\cos x + C\).

C. \( - \sin x + C\).

D. \( - \cos x + C\).

\(\int {\cos \left( { - x} \right)dx} \) bằng:

A. \(\sin x + C\).

B. \(\cos x + C\).

C. \( - \sin x + C\).

D. \( - \cos x + C\).

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( { - x} \right)}}dx} \) bằng:

A. \(\tan x + C\).

B. \(\cot x + C\).

C. \( - \tan x + C\).

D. \( - \cot x + C\).

\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - x} \right)}}dx} \) bằng:

A. \(\tan x + C\).

B. \(\cot x + C\).

C. \( - \tan x + C\).

D. \( - \cot x + C\).

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin 3x + \sin x}}{{\sin 2{\rm{x}}}}\).

a) \(f\left( x \right) = \frac{{2\sin \frac{{3x + x}}{2}\cos \frac{{3x - x}}{2}}}{{\sin 2{\rm{x}}}}\).

b) \(f\left( x \right) = 2\cos x\).

c) \(\int {f\left( x \right)dx}  = 2\int {\cos xdx} \).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  =  - 2\sin x + C\).

Tìm:

a) \(\int {{x^{\frac{1}{3}}}} dx\);

b) \(\int {\sqrt {\frac{1}{{{x^7}}}} } dx\);

c) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^{\frac{4}{5}}}}}}}} dx\);

d) \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} dx\);

e) \(\int {\frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}} dx\);

g) \(\int {\left( {3{{\rm{x}}^2} - \frac{4}{x}} \right)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)} dx\).

 $\int \sin x\text{d}x$ bằng

Tìm:

a) \(\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx} \);

b) \(\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \);

c) \(\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \).

Chọn đáp án đúng.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đi qua điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(f'\left( x \right) = \cos x - \sin x\). Giá trị của \(f\left( \pi  \right)\) là

A. ‒1.

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin x;\)

b) \(y =  - \cos x;\)

c) \(y = \tan x;\)

d) \(y =  - \cot x\).

Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x + \sin x\) là

Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} + \cos x\) là