Giải bài tập 5.59 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Góc giữa đường thẳng (d:frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{z}{1}) và mặt phẳng ((alpha ):4x + 3y + 5z - 4 = 0) bằng: A. ({30^circ }) B. ({120^circ }) C. ({60^circ }) D. ({150^circ })

Đề bài

Góc giữa đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \((\alpha ):4x + 3y + 5z - 4 = 0\) bằng:

A. \({30^\circ }\)

B. \({120^\circ }\)

C. \({60^\circ }\)

D. \({150^\circ }\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định bởi góc giữa vectơ chỉ phương \(\vec u\) của đường thẳng và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng.

Ta tính \(\sin \theta \) theo công thức: \(\sin \theta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec n} \right|}}\) .

Với \(\theta \) là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Vector chỉ phương của \(d\) là \(\vec u = (1;2;1)\).

Vector pháp tuyến của \((\alpha )\) là \(\vec n = (4;3;5)\).

Tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec n\): \(\vec u \cdot \vec n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 5 = 4 + 6 + 5 = 15\).

Độ dài của \(\vec u\) và \(\vec n\):

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} = \sqrt {1 + 4 + 1} = \sqrt 6 \).

\(\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}} = \sqrt {16 + 9 + 25} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \).

Tính \(\sin \theta \): \(\sin \theta = \frac{{|15|}}{{\sqrt 6 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{15}}{{5\sqrt {12} }} = \frac{3}{{\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Tìm góc \(\theta \) từ \(\sin \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Ta có \(\theta = {60^\circ }\).

Chọn C