Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A.BCD là một hình chóp. b) Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD. c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD.

Đề bài

Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0).

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A.BCD là một hình chóp.

b) Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng có dạng:

\({n_1}(x - {x_0}) + {n_2}(y - {y_0}) + {n_3}(z - {z_0}) = 0\)

Trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng (ví dụ: điểm \(B(1,0,6)\)), và \(({n_1},{n_2},{n_3})\) là tọa độ của véc-tơ pháp tuyến.

b) Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến mặt phẳng (BCD).

Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(d = \frac{{|A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

c) Để mặt phẳng chứa AB và song song với CD, ta cần tìm một phương trình mặt phẳng sao cho:

1. Mặt phẳng chứa AB, tức là \(\overrightarrow {AB} \) là một véc-tơ trong mặt phẳng.

2. Mặt phẳng song song với CD, tức là điểm C và D đều không thuộc mặt phẳng và song song vectơ tạo bởi hai điểm này song song với \(\overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết

a)

Tính hai véc-tơ trong mặt phẳng (BCD):

\(\overrightarrow {BC}  = C - B = (0 - 1;2 - 0; - 1 - 6) = ( - 1;2; - 7)\)

\(\overrightarrow {BD}  = D - B = (1 - 1;4 - 0;0 - 6) = (0;4; - 6)\)

Véc-tơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng \((BCD)\) là tích có hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):

\(\vec n = \overrightarrow {BC}  \times \overrightarrow {BD}  = (2.( - 6) - 4.( - 7);\,\,\, - 7.0 - ( - 1).( - 6);\,\,\,( - 1).4 - 2.0) = (16; - 6; - 4)\)

Phương trình mặt phẳng (BCD):

\(16(x - 1) - 6(y - 0) - 4(z - 6) = 0\)

\(16x - 16 - 6y - 4z + 24 = 0\)

\(16x - 6y - 4z + 8 = 0\)

Thay điểm A vào phương trình mặt phẳng (BCD):

\(16.( - 2) - 6.6 - 4.3 + 8 =  - 72 \ne 0\)

Vậy điểm A không thuộc phương trình mặt phẳng (BCD) nên A.BCD là một hình chóp.

b)

Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến mặt phẳng (BCD).

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD):

\(d = \frac{{|16.( - 2) - 6.6 - 4.3 + 8|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}\)

\(d = \frac{{| - 72|}}{{\sqrt {308} }} = \frac{{72}}{{2\sqrt {77} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\)

c)

Tính \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \):

\(\overrightarrow {AB}  = B - A = (1 - ( - 2);0 - 6;6 - 3) = (3; - 6;3)\)

\(\overrightarrow {CD}  = D - C = (1 - 0;4 - 2;0 - ( - 1)) = (1;2;1)\)

Mặt phẳng này chứa \(\overrightarrow {AB} \) và song song với \(\overrightarrow {CD} \), do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \):

\(\vec n = (( - 6).1 - 3.2;3.1 - 3.1;3.2 - ( - 6).1) = ( - 12;0;12)\)

Phương trình mặt phẳng \((a)\) là:

\( - 12(x - 1) + 0(y - 0) + 12(z - 6) = 0\)

\( - 12x + 12z = 60\)

\(x - z =  - 5\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa: a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD); b) Hai đường thẳng AB và CD; c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

  • Giải bài tập 5.36 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Viết phương trình tham số của đường thẳng a) Đi qua hai điểm (A(1;0; - 3)) và (B( - 3;1;0)). b) Đi qua điểm (M(2;3; - 5)) và song song với đường thẳng (Delta ): (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}{y = 3 - 4t}{z = - 5tquad (t in mathbb{R})}end{array}} right.)

  • Giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).

  • Giải bài tập 5.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7). a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S). b) Viết phương trình của mặt cầu (S).

  • Giải bài tập 5.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Người ta mô phỏng thiết kế của một bình chứa nhiên liệu có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều trong hệ trục Oxyz như Hình 5.39 với (S(0;0;0)), (P(10;0;0)), (Q(10;10;0)), (R(8;8;12)), (T(2;2;12)). a) Viết phương trình các mặt phẳng chứa các mặt bên của bình. b) Tính (sin ) của góc giữa cạnh bên và mặt đáy. c) Tính (cos ) của góc giữa các mặt bên.

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store