Giải bài tập 5.58 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Góc giữa hai mặt phẳng ((alpha ):x + 2y + 2z - 1 = 0) và ((beta ):7x - 8y - 15z + 3 = 0) bằng: A. ({135^circ }) B. ({45^circ }) C. ({60^circ }) D. ({120^circ })

Đề bài

Góc giữa hai mặt phẳng \((\alpha ): x + 2y + 2z - 1 = 0\) và \((\beta ): 7x - 8y - 15z + 3 = 0\) bằng:

A. \({135^\circ }\)

B. \({45^\circ }\)

C. \({60^\circ }\)

D. \({120^\circ }\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bởi góc giữa hai vectơ pháp tuyến \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) của chúng.

Ta tính \(\cos \theta \) theo công thức: \(\cos \theta = \frac{{|{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\) .

Với \(\theta \) là góc giữa hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Vector pháp tuyến của \((\alpha )\) là \({\vec n_1} = (1;2;2)\).

Vector pháp tuyến của \((\beta )\) là \({\vec n_2} = (7; - 8; - 15)\).

Tích vô hướng \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2}\): \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 1 \cdot 7 + 2 \cdot ( - 8) + 2 \cdot ( - 15) = 7 - 16 - 30 = - 39\) .

Độ dài của \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\):

\(\left| {{{\vec n}_1}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt {1 + 4 + 4} = \sqrt 9 = 3\) .

\(\left| {{{\vec n}_2}} \right| = \sqrt {{7^2} + {{( - 8)}^2} + {{( - 15)}^2}} = \sqrt {49 + 64 + 225} = \sqrt {338} \)_.

Tính \(\cos \theta \): \(\cos \theta = \frac{{| - 39|}}{{3 \cdot \sqrt {338} }} = \frac{{39}}{{3\sqrt {338} }} = \frac{{13}}{{\sqrt {338} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) .

Từ đó suy ra \(\theta \approx {45^\circ }\)_.

Chọn B