Giải bài tập 5.57 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 6}}{2}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 2 - 6t}\end{array}} \right.\) (với \(t \in \mathbb{R}\)). Khi đó \(\cos (d,d')\) bằng: A. \(\frac{{20}}{{21}}\). B. \(\frac{4}{{21}}\). C. \( - \frac{4}{{21}}\). D. \( - \frac{{20}}{{21}}\).

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 6}}{2}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 2 - 6t}\end{array}} \right.\) (với \(t \in \mathbb{R}\)). Khi đó \(\cos (d,d')\) bằng:

A. \(\frac{{20}}{{21}}\).

B. \(\frac{4}{{21}}\).

C. \( - \frac{4}{{21}}\).

D. \( - \frac{{20}}{{21}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tìm \(\cos (d,d')\), ta sử dụng tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương \(\vec u\) và \(\vec v\) của \(d\) và \(d'\): \(\cos (d,d') = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|}}\) với \(\vec u\) và \(\vec v\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\).

Lời giải chi tiết

Vector chỉ phương của \(d\) là \(\vec u = (1,2,2)\).

Vector chỉ phương của \(d'\) là \(\vec v = ( - 2, - 3, - 6)\).

Tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v\): \(\vec u \cdot \vec v = 1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 3) + 2 \cdot ( - 6) = - 2 - 6 - 12 = - 20\) .

Độ dài của \(\vec u\) và \(\vec v\):

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt {1 + 4 + 4} = \sqrt 9 = 3\) \(\left| {\vec v} \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {4 + 9 + 36} = \sqrt {49} = 7\) .

Tính \(\cos (d,d')\): \(\cos (d,d') = \frac{{| - 20|}}{{3 \cdot 7}} = \frac{{20}}{{21}}\) .

Chọn A