Giải bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.

Đề bài

Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.

a) Viết phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng quan sát được.

b) Hỏi camera có thể quan sát toàn bộ sân hay không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định toạ độ các đỉnh của sân hình chữ nhật và của camera

- Lập phương trình mặt cầu:

Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I({x_0},{y_0},{z_0})\) và bán kính R:

\({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\)

- Xác định tọa độ các đỉnh của sân và kiểm tra xem chúng có nằm trong phạm vi vùng quan sát của camera hay không.

- Một điểm \(M(x,y,z)\) nằm trong vùng quan sát nếu khoảng cách từ M đến I nhỏ hơn hoặc bằng R.

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình mặt cầu mô tả vùng quan sát

- Các điểm của sân: \(A(0;0;0)\), \(B(15;0;0)\), \(D(0;20;0)\), \(C(15;20;0)\)

- Camera đặt tại điểm \(I(0,0,5)\), độ cao \(z = 5\) m trên mặt sân tại điểm A.

- Bán kính quan sát của camera là \(R = 25\) m.

Lập phương trình mặt cầu:

- Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,5)\) và bán kính \(R = 25\):

\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 5)^2} = {25^2}\)

\({x^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 625\)

- Đây là phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng quan sát của camera.

b) Kiểm tra khả năng quan sát toàn bộ sân

* Tính khoảng cách từ các đỉnh của sân đến camera:

- Khoảng cách từ I đến A:

\(IA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(5 - 0)}^2}} = 5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Khoảng cách từ I đến B:

\(IB = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {225 + 25} = \sqrt {250} \approx 15.81{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Khoảng cách từ I đến D:

\(ID = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {400 + 25} = \sqrt {425} \approx 20.62{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Khoảng cách từ I đến C:

\(IC = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {225 + 400 + 25} = \sqrt {650} \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Camera có thể quan sát được toàn bộ sân nếu tất cả các đỉnh đều nằm trong bán kính quan sát. Ta thấy rằng khoảng cách \(IC \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}} > 25{\mkern 1mu} {\rm{m}}\). Do đó, điểm C nằm ngoài phạm vi quan sát của camera.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một tháp phát sóng cao 50 m đặt ở góc A của sân hình chữ nhật ABCD. Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp CM và BN (từ C và B) với vận tốc lần lượt là 3 m/phút và 2,5 m/phút. Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\). b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).
Giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
Giải bài tập 5.46 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vectơ chỉ phương là (vec a = left( { - 1;2; - 3} right)) và (vec b = left( {3;0;5} right)). Phương trình của mặt phẳng (left( alpha right)) là
Giải bài tập 5.47 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho ba điểm A(3; 0; 1), B(0; 2; 1), C(1; 0; 0). Phương trình của mặt phẳng (ABC) là A. \(2x - 3y - 4z + 2 = 0\) B. \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\) C. \(4x + 6y - 8z + 2 = 0\) D. \(2x - 3y - 4z + 1 = 0\)
Giải bài tập 5.48 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng \((\alpha )\): 3x − y + 2z + 4 = 0. Mặt phẳng đi qua M và song song với \((\alpha )\)có phương trình là A. \(3x + y - 2z - 14 = 0\) B. \(3x - y + 2z + 6 = 0\) C. \(3x - y + 2z - 6 = 0\) D. \(3x - y - 2z + 6 = 0\)
Giải bài tập 5.49 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt phẳng ((alpha )): 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ((alpha ))? A. x – 3y + 3z – 7 = 0 B. 3x – 3y + z – 7 = 0 C. x + 2y – z – 8 = 0 D. x – 2y + z + 8 = 0
Giải bài tập 5.50 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(2;0; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2; - 3;1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là: \({\rm{A}}{\rm{. }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 4t}\\{y = - 6t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) \({\rm{B}}{\rm{. }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = - 3}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) \({\rm{C}}{\rm{. }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 +
Giải bài tập 5.51 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai điểm \(A(1; - 2; - 3)\), \(B( - 1;4;1)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với \(d\)? \({\rm{A}}{\rm{. }}d':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\) \({\rm{B}}{\rm{. }}d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\) \({\rm{C}}{\rm{. }}d':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
Giải bài tập 5.52 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai điểm \(M(1; - 1; - 1)\) và \(N(5;5;1)\). Đường thẳng MN có phương trình là: A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = 5 + 3t}\\{z = - 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + t}\\{y = 5 + 2t}\\{z = 1 + 3t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\) C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + 3t}\\{z = - 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\) D. \(\left\{ {\begin{array}{*{
Giải bài tập 5.53 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 + 4t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t'}\\{y = 5 + 6t'}\\{z = 7 + 8t'\quad (t' \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau. B. \({d_1}\parallel {d_2}\). C. \({d_1} \equiv {d_2}\). D. \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
Giải bài tập 5.54 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Phương trình mặt cầu tâm \(I(2;1; - 1)\), bán kính \(R = 2\) là: A. \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 4\). B. \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 2\). C. \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 2\). D. \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 4\).
Giải bài tập 5.55 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt cầu ((S):{x^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 6). Đường kính của ((S)) bằng: A. (3). B. (sqrt 6 ). C. (2sqrt 6 ). D. 12.
Giải bài tập 5.56 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0\) đến mặt phẳng \((\alpha ):3x - 2y + 6z + 14 = 0\) bằng: A. \(1\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(4\).
Giải bài tập 5.57 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 6}}{2}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 2 - 6t}\end{array}} \right.\) (với \(t \in \mathbb{R}\)). Khi đó \(\cos (d,d')\) bằng: A. \(\frac{{20}}{{21}}\). B. \(\frac{4}{{21}}\). C. \( - \frac{4}{{21}}\). D. \( - \frac{{20}}{{21}}\).
Giải bài tập 5.58 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Góc giữa hai mặt phẳng ((alpha ):x + 2y + 2z - 1 = 0) và ((beta ):7x - 8y - 15z + 3 = 0) bằng: A. ({135^circ }) B. ({45^circ }) C. ({60^circ }) D. ({120^circ })
Giải bài tập 5.59 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Góc giữa đường thẳng (d:frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{z}{1}) và mặt phẳng ((alpha ):4x + 3y + 5z - 4 = 0) bằng: A. ({30^circ }) B. ({120^circ }) C. ({60^circ }) D. ({150^circ })
Giải bài tập 5.40 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong các chương trình đồ hoạ máy tính, để tạo ảo giác theo đúng phối cảnh, các vật ở càng gần thì càng lớn hơn các vật ở xa, các hình ảnh ba chiều trong bộ nhớ của máy tính được chiếu lên một màn hình hình chữ nhật từ điểm nhìn của mắt hoặc máy chiếu.
Giải bài tập 5.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Người ta mô phỏng thiết kế của một bình chứa nhiên liệu có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều trong hệ trục Oxyz như Hình 5.39 với (S(0;0;0)), (P(10;0;0)), (Q(10;10;0)), (R(8;8;12)), (T(2;2;12)). a) Viết phương trình các mặt phẳng chứa các mặt bên của bình. b) Tính (sin ) của góc giữa cạnh bên và mặt đáy. c) Tính (cos ) của góc giữa các mặt bên.
Giải bài tập 5.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7). a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S). b) Viết phương trình của mặt cầu (S).
Giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).
Giải bài tập 5.36 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Viết phương trình tham số của đường thẳng a) Đi qua hai điểm (A(1;0; - 3)) và (B( - 3;1;0)). b) Đi qua điểm (M(2;3; - 5)) và song song với đường thẳng (Delta ): (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}{y = 3 - 4t}{z = - 5tquad (t in mathbb{R})}end{array}} right.)
Giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa: a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD); b) Hai đường thẳng AB và CD; c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
Giải bài tập 5.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A.BCD là một hình chóp. b) Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD. c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD.