Giải bài tập 5.56 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0\) đến mặt phẳng \((\alpha ):3x - 2y + 6z + 14 = 0\) bằng: A. \(1\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(4\).

Đề bài

Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0\) đến mặt phẳng \((\alpha ):3x - 2y + 6z + 14 = 0\) bằng:

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(4\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình của mặt cầu có dạng: \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).

Với mặt cầu cho trước, ta đưa phương trình về dạng chuẩn để tìm tọa độ tâm \((a,b,c)\) và bán kính \(R\).

Sau đó, khoảng cách từ điểm \(I(a,b,c)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) được tính bằng công thức: \(d = \frac{{|Aa + Bb + Cc + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết

* Viết lại phương trình mặt cầu: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0\).

Nhóm các biến: \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 1 + 1 + 1 + 22 = 25\).

Do đó, tâm \(I(1,1,1)\) và bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\).

* Tính khoảng cách từ \(I(1,1,1)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):3x - 2y + 6z + 14 = 0\):

\(d = \frac{{|3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 14|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2} + {6^2}} }} = \frac{{|3 - 2 + 6 + 14|}}{{\sqrt {9 + 4 + 36} }} = \frac{{21}}{7} = 3\).

Chọn C