-
Giải Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
-
Giải Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá
Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Cùng khám phá
Giải bài tập 5.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Người ta mô phỏng thiết kế của một bình chứa nhiên liệu có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều trong hệ trục Oxyz như Hình 5.39 với (S(0;0;0)), (P(10;0;0)), (Q(10;10;0)), (R(8;8;12)), (T(2;2;12)). a) Viết phương trình các mặt phẳng chứa các mặt bên của bình. b) Tính (sin ) của góc giữa cạnh bên và mặt đáy. c) Tính (cos ) của góc giữa các mặt bên.
Đề bài
Người ta mô phỏng thiết kế của một bình chứa nhiên liệu có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều trong hệ trục Oxyz như Hình 5.39 với \(S(0;0;0)\), \(P(10;0;0)\), \(Q(10;10;0)\), \(R(8;8;12)\), \(T(2;2;12)\).
a) Viết phương trình các mặt phẳng chứa các mặt bên của bình.
b) Tính \(\sin \) của góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
c) Tính \(\cos \) của góc giữa các mặt bên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
Để viết phương trình mặt phẳng chứa ba điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\), \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), và \(C({x_3},{y_3},{z_3})\)1. Tính hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1}),\quad \overrightarrow {AC} = ({x_3} - {x_1},{y_3} - {y_1},{z_3} - {z_1}).\)
2. Tìm vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng bằng tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} .\)
3. Gọi \(\vec n = (A,B,C)\), phương trình mặt phẳng sẽ là
\(A(x - {x_1}) + B(y - {y_1}) + C(z - {z_1}) = 0.\)
b) Tính \(\sin \theta \) bằng công thức: \(\sin \theta = \frac{{|\overrightarrow {ST} \cdot {{\vec n}_{{\rm{d\'a y}}}}|}}{{|\overrightarrow {ST} | \cdot |{{\vec n}_{{\rm{d\'a y}}}}|}}.\)
c) Tính \(\cos \theta \) bằng công thức: \(\cos \theta = \frac{{|{{\vec n}_{SPAT}} \cdot {{\vec n}_{SHBT}}|}}{{|{{\vec n}_{SPAT}}| \cdot |{{\vec n}_{SHBT}}|}}.\)
Lời giải chi tiết
Dựa vào hình ta có toạ độ các điểm còn lại như sau:
\(A(8;2;12)\), \(B(2;8;12)\), \(H(0;10;0)\)
* Mặt phẳng APST:
- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {ST} = (2;2;12),\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {SP} = (10;0;0)\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{APST}}} = \overrightarrow {SP} \times \overrightarrow {ST} = (0.12 - 0.2;0.2 - 10.12;10.2 - 0.2) = (0; - 120;20)\)
- Phương trình mặt phẳng APST là:
\(0.(x - 0) - 120.(y - 0) + 20(z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 120y + 20z = 0 \Leftrightarrow - 6y + z = 0\)
* Mặt phẳng BHQR
- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {HB} = (2; - 2;12),\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {HQ} = \overrightarrow {SP} = (10;0;0)\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{BHQR}}} = \overrightarrow {HQ} \times \overrightarrow {HB} = (0.12 - 0.( - 2);0.2 - 10.12;10.( - 2) - 0.2) = (0; - 120; - 20)\)
- Phương trình mặt phẳng BHQR là:
\(0.(x - 10) - 120.(y - 10) - 20(z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 120y - 20z + 1200 = 0 \Leftrightarrow - 6y - z + 60 = 0\)
* Mặt phẳng STBH
- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {ST} = (2;2;12),\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {SH} = (0;10;0)\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{STBH}}} = \overrightarrow {SH} \times \overrightarrow {ST} = (10.12 - 0.2;0.2 - 0.12;0.2 - 10.2) = (120;0; - 20)\)
- Phương trình mặt phẳng STBH là:
\(120.(x - 0) + 0.(y - 0) - 20(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 120x - 20z = 0 \Leftrightarrow 6x - z = 0\)
* Mặt phẳng ARQT
- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {PA} = ( - 2;2;12),\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {SH} = (0;10;0)\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{ARQT}}} = \overrightarrow {PQ} \times \overrightarrow {PA} = (10.12 - 0.2;0.( - 2) - 0.12;0.2 - 10.( - 2)) = (120;0;20)\)
- Phương trình mặt phẳng ARQT là:
\(120.(x - 10) + 0.(y - 0) + 20(z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 120x + 20z - 1200 = 0 \Leftrightarrow 6x + z - 60 = 0\)
b)
Chọn cạnh bên ST để xét.
Mặt phẳng đáy SHQP cũng chính là mặt phẳng Oxy: \(z = 0\)
Sin của góc giữa cạnh bên ST và mặt phẳng đáy SHQP là:
\(\sin \theta = \frac{{|\overrightarrow {ST} \cdot {{\vec n}_{SHQP}}|}}{{|\overrightarrow {ST} | \cdot |{{\vec n}_{SHQP}}|}} = \frac{{\left| {12.1} \right|}}{{\left| {\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{12}^2}} } \right|.\left| {\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} } \right|}} = \frac{{12}}{{2\sqrt {38} .1}} = \frac{6}{{\sqrt {38} }}\)
c)
Vì đây là hình chóp cụt tứ giác đều nên cosin của góc giữa các mặt bên là:
\(\cos \theta = \frac{{|{{\vec n}_{SPAT}} \cdot {{\vec n}_{SHBT}}|}}{{|{{\vec n}_{SPAT}}| \cdot |{{\vec n}_{SHBT}}|}} = \frac{{\left| {0.120 + ( - 120).0 + 20.( - 20)} \right|}}{{\left| {\sqrt {{0^2} + {{( - 120)}^2} + {{20}^2}} } \right|.\left| {\sqrt {{{120}^2} + {0^2} + {{( - 20)}^2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 400} \right|}}{{14800}} = \frac{1}{{37}}\)
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài tập 5.40 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
