Toán 12 Kết nối tri thức | Giải toán lớp 12 Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\); b) \(y = x + \sqrt {1 - {x^2}} \)

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

 

 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);

b) \(y = x + \sqrt {1 - {x^2}} \)

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.

2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)

 

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)'} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}\)

\(y' = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\)

Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = \frac{2}{{\sqrt 2 }}=\sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0\)

b) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)

\(y' = 1 + \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {1 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = {x^2}\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(y\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0;y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,y\left( { - 1} \right) =  - 1;y\left( 1 \right) = 1\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) =  - 1\)

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store