Đề thi học kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức - Đề số 8

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \)

Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC nên \(HE \bot AB,HF \bot AC\), suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {HFA} = 90^\circ \).

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat A = \widehat {AEH} = \widehat {HFA} = 90^\circ \) nên AEHF là hình chữ nhật.

b) Do tam giác ABC vuông ở A nên \(AB \bot AC\). Mà \(BD \bot AB\) nên \(AC//BD\), do đó \(\widehat {FCB} = \widehat {CBD}\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta FMC\) và \(\Delta DMB\) có:

\(\widehat {FCB} = \widehat {CBD}\) (cmt)

CM = BM (vì M là trung điểm của BC)

\(\widehat {FMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc so le trong)

Suy ra \(\Delta FMC = \Delta DMB\left( {g.c.g} \right)\), do đó MF = MD (hai cạnh tương ứng).

Tứ giác BDCF có hai đường chéo BC và DF cắt nhau tại M và BM = MC, MF = MD nên BDCF là hình bình hành.

c) Vì AEHF là hình chữ nhật nên HE // AF, HF // AE nên HE // AC, HF // AB.

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác, ta có:

\(\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BH}}{{BC}}\); \(\frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{CH}}{{BC}}\).

Do đó \(\frac{{BE}}{{AB}} + \frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{BC}} + \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\)

Suy ra \(\frac{{BE.AC}}{{AB.AC}} + \frac{{CF.AB}}{{AB.AC}} = \frac{{AB.AC}}{{AB.AC}}\), do đó \(BE.AC + CF.AB = AB.AC\).