Toán 11, giải toán lớp 11 cánh diều Bài tập cuối chương 4 Toán 11 Cánh diều

Bài 8 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều


Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\)

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\)

a) Chứng minh rằng CM’ // (A’BM’)

b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’)

c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’)

d) Gọi\(\left( \alpha  \right)\)là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng\(\left( \alpha  \right)\)cắt cạnh CC’ tại điểm I. Tính \(\frac{{IC}}{{IC'}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a,b, Đường thẳng d // (P) nếu d //d', d' nằm trong (P).

c, (P)//(Q) nếu d,d' nằm trong (P) và d, d'//(Q).

Lời giải chi tiết

a) Trong mp(BCC’B’) có tứ giác BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’.

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên BM = C’M’ = ½ BC = ½ B’C’.

Tứ giác BMC’M’ có BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ nên BMC’M’ là hình bình hành

Do đó C’M // M’B, mà M’B ⊂ (A’BM’) nên C’M // (A’BM’).

b) Trong mp(A’BM’), xét ∆A’BM’ có  \(\frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\) nên G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)

Mà M’B ⊂ (BCC’B’) nên G’K // (BCC’B’).

c) Trong mp(BCC’B’), tứ giác CMM’C’ có C’M’ // CM và C’M’ = CM = ½ BC = ½ B’C’

Do đó tứ giác CMM’C’ là hình bình hành nên M’M // C’C và M’M = C’C.

 Mà A’A // C’C và A’A = C’C nên A’A // M’M và A’A = M’M.

Khi đó AMM’A’ là hình bình hành nên A’M’ // AM và A’M’ = AM.

Lại có\(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{2}{3}\) nên A’G’ = AG, do đó G’M’ = GM.

Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.

Do đó GMM’G’ là hình bình hành nên G’G // M’M

Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).

Ta có: G’K // (BCC’B’);

           G’G // (BCC’B’);

           G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

Do đó (GG’K) // ((BCC’B’).

d) Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);

           JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).

Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).

Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).

Khi đó CC’ cắt (α) tại I.

Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có:\(\frac{{C'I}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{KB}}\)

Suy ra \(\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{C'I}}\)

Theo bài, \(\frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac{{A'B}}{{A'K}} = \frac{3}{2}\)  do đó \(\frac{{A'B - A'K}}{{A'K}} = \frac{{3 - 2}}{2}\)  hay \(\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{{IC}}{{IC'}} = \frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua