Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Ôn tập chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 47 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Cho hàm số f liên tục trên Tỉ số : được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên và được kí hiệu là . Chứng minh rằng tồn tại điểm sao cho

Đề bài

Cho hàm số f liên tục trên \(\left[ {a;b} \right].\) Tỉ số : \({1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\) và được kí hiệu là \(m\left( f \right)\). Chứng minh rằng tồn tại điểm \(c \in \left[ {a;b} \right]\) sao cho \(m\left( f \right) = f\left( c \right)\)

Lời giải chi tiết

Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Ta có \(m \le f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\)
Theo kết quả: \(f(x)\ge g(x)\) trên đoạn \([a;b]\) thì \(\int\limits_a^b {f(x)} dx \ge \int\limits_a^b {g(x)dx} \)

Ta có:

\(\eqalign{
& \int\limits_a^b {mdx \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \le \int\limits_a^b {Mdx}\cr &\Rightarrow m\left( {b - a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \le M\left( {b - a} \right)} \cr 
& \Rightarrow m \le {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \le M \cr} \)

Vì \(f\) là hàm liên tục nên tồn tại \(c \in \left[ {a;b} \right]\) để \(m\le f(c)\le M\) hay \(f\left( c \right) = {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.\)

Cách khác:

Ta có: \(m\left( f \right) = \dfrac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x)

=> F’(x) = f(x) =>F(x) liên tục trên [a; b] có đạo hàm trên (a; b) và thỏa mãn:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

\( \Rightarrow m\left( f \right) = \dfrac{1}{{b - a}}.\left( {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right)\) \( = \dfrac{{F\left( b \right) - F\left( a \right)}}{{b - a}}\)

Theo định lý Lagrăng thì ∃c ∈(a;b) sao cho

\(\dfrac{{F\left( b \right) - F\left( a \right)}}{{b - a}} = F'\left( c \right)\)

Vì F' (c)=f(c) => ∃c ∈(a;b) để m(f) = f(c) (đpcm)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua