Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm cực trị của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = {x \over {{x^2} + 1}};\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\)

\(f'\left( x \right) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr 
x = - 1,f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - 1} \right) =  - {1 \over 2}\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), giá trị cực đại \(f\left( 1 \right) = {1 \over 2}\).

LG b

\(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over {x + 1}};\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) - {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}   \cr 
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr 
& f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr} \)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - {3 \over 2}\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}\).

Hàm số không có cực đại.

LG c

\(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} ;\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)

\(f'\left( x \right) = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \).

Hàm số không có cực tiểu.

LG d

\(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1} \).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \le  - 1\) hoặc \(x \ge 1\).

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f'\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\) 

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr 
{x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.\) vô nghiệm

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) và đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Chú ý:

Để xét dấu nhanh và chính xác trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì ta chỉ cần cho x nhận 1 giá cụ thể thuộc khoảng đó. Chẳng hạn,

\(f'\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x <  - 1\).

\(f'\left( { - 2} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) > 2\) với mọi \(x > 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store