Bài 11 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Đề bài

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\);               \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\);                     \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất:

+) Số phức z là số thực khi và chỉ khi \(\overline z=z \)

+) "Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \( \overline z=-z\)

Lời giải chi tiết

* Ta có:

\(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}}  \\= \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}}  \\= {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} \\= {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)

\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\)  là số thực.

Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)

Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} \) \( = {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2} \) \(= 2{a^2} - 2{b^2}\)

\(= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực

* \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)}  \) \( = \frac{{\overline {z - \overline z } }}{{\overline {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}} }} \) \( = \frac{{\overline z  - \overline {\overline z } }}{{\overline {{z^3}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^3}} }}  \) \(= \frac{{\overline z  - z}}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {{\left( {\overline {\overline z } } \right)}^3}}}  \) \(=  - \frac{{z - \overline z }}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}}\)

\(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.

*  \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)}   \) \(= {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}}  \) \(=  - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}}  \)

\(\Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.

Cách khác:

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.