Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Kết nối tri thức

1. Định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)

1. Định lí Viète

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)

Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).

2. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm

Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\).

- Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\).

- Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}\).

Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).

Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

\({x^2} - Sx + P = 0\).

Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\).

Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).

Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 21, 22 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Nhắc lại công thức tính hai nghiệm ({x_1},{x_2}) của phương trình trên.
Giải mục 2 trang 22, 23 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho phương trình (2{x^2} - 7x + 5 = 0). a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính (a + b + c). b) Chứng tỏ rằng ({x_1} = 1) là một nghiệm của phương trình. c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại ({x_2}) của phương trình.
Giải mục 3 trang 22, 23 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Giả sử hai số có tổng (S = 5) và tích (P = 6). Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm. a) Gọi một số là x. Tính số kia theo x. b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.
Giải bài tập 6.23 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau: a) ({x^2} - 12x + 8 = 0); b) (2{x^2} + 11x - 5 = 0); c) (3{x^2} - 10 = 0); d) ({x^2} - x + 3 = 0).
Giải bài tập 6.24 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) (2{x^2} - 9x + 7 = 0); b) (3{x^2} + 11x + 8 = 0); c) (7{x^2} - 15x + 2 = 0), biết phương trình có một nghiệm ({x_1} = 2).
Giải bài tập 6.25 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm hai số u và v, biết: a) (u + v = 20,uv = 99); b) (u + v = 2,uv = 15).
Giải bài tập 6.26 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai (a{x^2} + bx + c = 0) có hai nghiệm là ({x_1}) và ({x_2}) thì đa thức (a{x^2} + bx + c) được phân tích được thành nhân tử sau: (a{x^2} + bx + c = aleft( {x - {x_1}} right)left( {x - {x_2}} right)). Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ({x^2} + 11x + 18); b) (3{x^2} + 5x - 2).
Giải bài tập 6.27 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích (500{m^2}) và chu vi là 150m. Tính các kích thước của bể bơi này.