Giải bài tập 6.26 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai (a{x^2} + bx + c = 0) có hai nghiệm là ({x_1}) và ({x_2}) thì đa thức (a{x^2} + bx + c) được phân tích được thành nhân tử sau: (a{x^2} + bx + c = aleft( {x - {x_1}} right)left( {x - {x_2}} right)). Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ({x^2} + 11x + 18); b) (3{x^2} + 5x - 2).

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^2} + 11x + 18\);

b) \(3{x^2} + 5x - 2\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh:

+ Biến đổi \(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)

+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)

+ Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) vào đa thức \(a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta được điều phải chứng minh.

a, b) + Tìm nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)

+ Phân tích đa thức dưới dạng: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)

Vì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) nên theo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).

Thay vào biểu thức \(a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta có:

\(a{x^2} - ax.\frac{{ - b}}{a} + a.\frac{c}{a} = a{x^2} + bx + c\)

a) Giải phương trình \({x^2} + 11x + 18 = 0\):

Ta có: \(\Delta = {11^2} - 4.1.18 = 49 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {49} }}{2} = - 2;{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {49} }}{2} = - 9\)

Do đó, \({x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)\).

b) Giải phương trình \(3{x^2} + 5x - 2 = 0\):

Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.3.\left( { - 2} \right) = 49 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{6} = \frac{1}{3};{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{6} = - 2\)

Do đó, \(3{x^2} + 5x - 2 = 3\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 6.27 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích (500{m^2}) và chu vi là 150m. Tính các kích thước của bể bơi này.
Giải bài tập 6.25 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm hai số u và v, biết: a) (u + v = 20,uv = 99); b) (u + v = 2,uv = 15).
Giải bài tập 6.24 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) (2{x^2} - 9x + 7 = 0); b) (3{x^2} + 11x + 8 = 0); c) (7{x^2} - 15x + 2 = 0), biết phương trình có một nghiệm ({x_1} = 2).
Giải bài tập 6.23 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau: a) ({x^2} - 12x + 8 = 0); b) (2{x^2} + 11x - 5 = 0); c) (3{x^2} - 10 = 0); d) ({x^2} - x + 3 = 0).
Giải mục 3 trang 22, 23 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Giả sử hai số có tổng (S = 5) và tích (P = 6). Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm. a) Gọi một số là x. Tính số kia theo x. b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.
Giải mục 2 trang 22, 23 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho phương trình (2{x^2} - 7x + 5 = 0). a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính (a + b + c). b) Chứng tỏ rằng ({x_1} = 1) là một nghiệm của phương trình. c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại ({x_2}) của phương trình.
Giải mục 1 trang 21, 22 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Nhắc lại công thức tính hai nghiệm ({x_1},{x_2}) của phương trình trên.
Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Kết nối tri thức
1. Định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)