Luyện tập chung trang 90 - Toán 9 Kết nối tri thức

Giải bài tập 9.33 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

+ Chứng minh \(OA = OB = OC = OD\) nên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là đường tròn tâm O, bán kính OD.

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADB vuông tại A tính DB.

+ Chu vi đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

\({C_1} = \pi .DB\)

+ Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

\({S_1} = \pi .O{D^2}\)

+ Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

+ Chứng minh các \(OE = OH = OF = OG\), suy ra, đường tròn (O; OE) nội tiếp hình vuông ABCD.

+ Tính \(OE = AE = \frac{{AB}}{2}\)

+ Chu vi đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:

\({C_2} = 2\pi .OE\)

+ Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:

\({S_2} = \pi .O{E^2}\)

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do đó, đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là đường tròn tâm O, bán kính OD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADB vuông tại A có:

\(A{B^2} + A{D^2} = D{B^2} \Rightarrow DB = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \left( {cm} \right) \Rightarrow OD = 2\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)

Chu vi đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

\({C_1} = \pi .DB = 4\sqrt 2 \pi \left( {cm} \right)\)

Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

\({S_1} = \pi .O{D^2} = \pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Tam giác AOB có: \(OA = OB\) (bán kính đường tròn (O)) nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, \(OE \bot AB \Rightarrow \widehat {OEA} = \widehat {OEB} = {90^o}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\widehat {OFB} = \widehat {OFC} = \widehat {OGC} = \widehat {OGD} = \widehat {OHD} = \widehat {OHA} = {90^o}\)

Tứ giác AEOH có: \(\widehat {HAE} = \widehat {OEA} = \widehat {OHA} = {90^o}\) nên tứ giác AEOH là hình chữ nhật.

Mà AO là tia phân giác của góc HAE (do ABCD là hình vuông) nên AEOH là hình vuông.

Do đó, \(OE = OH\).

Chứng minh tương tự ta có:

\(OE = OF,OF = OG,OG = OH\)

Do đó: \(OE = OH = OF = OG\). Suy ra, đường tròn (O; OE) nội tiếp hình vuông ABCD.

Ta có: \(OE = AE = \frac{{AB}}{2} = 2cm\)

Chu vi đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:

\({C_2} = 2\pi .OE = 2\pi .2 = 4\pi \left( {cm} \right)\)

Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:

\({S_2} = \pi .O{E^2} = \pi {.2^2} = 4\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 9.34 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Biết rằng bốn đỉnh A, B, C, D của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn (O) theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều ({45^o}) biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm E, F, G, H. a) Vẽ đa giác EAFBGCHD. b) Đa giác EAFBGCHD có phải là một hình bát giác đều hay không? Vì sao?
Giải bài tập 9.35 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.59. a) Hãy tìm một phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C. b) Phép quay trên sẽ biến các điểm B, C, D, E lần lượt thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên ngũ giác đều ABCDE không?
Giải bài tập 9.36 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?
Giải bài tập 9.32 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như Hình 9.58. Biết (widehat {BEC} = {40^o}) và (widehat {DFC} = {20^o}), tính số đo các góc của tứ giác ABCD.
Giải bài tập 9.31 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD, ABDE là những tứ giác nội tiếp.