Giải bài tập 2 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0). b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0). c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + frac{1}{2} = 0).

Đề bài

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\).

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\).

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các phương trình ở câu a và b đều là phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Xác định \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) và tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d\), rồi rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{5}{2}\), \(b = \frac{7}{2}\), \(c =  - \frac{1}{2}\) và \(d =  - 1\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{7}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\).

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - 2\), \(b =  - 3\), \(c = 1\) và \(d = 100\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {1^2} - 100 =  - 86 < 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\) không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = b = c = \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{2}\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {\frac{1}{4}}  = \frac{1}{2}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài tập 3 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Cho hai điểm (Aleft( {1;0;0} right)) và (Bleft( {5;0;0} right)). Chứng minh rằng nếu điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thoả mãn (overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = 0) thì (M) thuộc một mặt cầu (left( S right)). Tìm tâm và bán kính của (left( S right)).

  • Giải bài tập 4 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiẻm đại dương có dạng hình cầu trong không gian (Oxyz). Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là (Ileft( {360;200;400} right)) và bán kính (r = 2{rm{ m}}). Viết phương trình mặt cầu.

  • Giải bài tập 5 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hoá lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là (left( S right):{left( {x - 6} right)^2} + {left( {y - 6} right)^2} + {left( {z - 6} right)^2} = 25). Phương trình mặt phẳng chứa nắp là (left( P right):z = 10). a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa. b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng của nắp.

  • Giải bài tập 1 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Viết phương trình mặt cầu (left( S right)): a) Có tâm (Ileft( {7; - 3;0} right)), bán kính (R = 8). b) Có tâm (Mleft( {3;1; - 4} right)) và đi qua điểm (Nleft( {1;0;1} right)). c) Có đường kính (AB) với (Aleft( {4;6;8} right)) và (Bleft( {2;4;4} right)).

  • Giải mục 2 trang 63, 64 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - {rm{4 000}}z + {rm{4 099 900}} = 0). Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí