Giải mục 2 trang 63, 64 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - {rm{4 000}}z + {rm{4 099 900}} = 0). Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 64 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - {\rm{4 000}}z + {\rm{4 099 900}} = 0\). Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Phương pháp giải:

Phương trình của bề mặt bóng thám không là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Xác định \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) và tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d\), rồi rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Phương trình của bề mặt bóng thám không là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với \(a = 100\), \(b = 300\), \(c = 2{\rm{ 000}}\) và \(d = {\rm{4 099 900}}\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {100^2} + {300^2} + 2{\rm{ }}{000^2} - 4{\rm{ }}099{\rm{ }}900 = 100 > 0.\)

Vậy bóng thám không có tâm \(I\left( {100;300;2000} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {100} = 10\).

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 64 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0\). Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu chính là bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), sau đó tính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu chính là bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = - \frac{1}{{16}}\), \(b = \frac{1}{{16}}\), \(c = \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{{16}}\).

Suy ra bán kính của mặt cầu là \(R = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{{16}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{{16}}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 1 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt cầu (left( S right)): a) Có tâm (Ileft( {7; - 3;0} right)), bán kính (R = 8). b) Có tâm (Mleft( {3;1; - 4} right)) và đi qua điểm (Nleft( {1;0;1} right)). c) Có đường kính (AB) với (Aleft( {4;6;8} right)) và (Bleft( {2;4;4} right)).
Giải bài tập 2 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0). b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0). c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + frac{1}{2} = 0).
Giải bài tập 3 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hai điểm (Aleft( {1;0;0} right)) và (Bleft( {5;0;0} right)). Chứng minh rằng nếu điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thoả mãn (overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = 0) thì (M) thuộc một mặt cầu (left( S right)). Tìm tâm và bán kính của (left( S right)).
Giải bài tập 4 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiẻm đại dương có dạng hình cầu trong không gian (Oxyz). Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là (Ileft( {360;200;400} right)) và bán kính (r = 2{rm{ m}}). Viết phương trình mặt cầu.
Giải bài tập 5 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hoá lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là (left( S right):{left( {x - 6} right)^2} + {left( {y - 6} right)^2} + {left( {z - 6} right)^2} = 25). Phương trình mặt phẳng chứa nắp là (left( P right):z = 10). a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa. b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng của nắp.
Giải mục 1 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian (Oxyz), cho mặt cầu (Sleft( {I;R} right)) có tâm (Ileft( {a;b;c} right)) và bán kính (R). Xét một điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thay đổi. a) Tính khoảng cách (IM) theo (x), (y), (z) và (a), (b), (c). b) Nêu điều kiện cần và đủ của (x), (y), (z) để điểm (Mleft( {x;y;z} right)) nằm trên mặt cầu (Sleft( {I;R} right)).
Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo
1. Phương trình mặt cầu trong không gian Khái niệm mặt cầu Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I;R) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I là đường kính mặt cầu.